A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

ahol n = 1, 2, 3, … egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha a rendje n, azaz ha n a legkisebb olyan pozitív egész szám, amelyre .

Komplex egységgyökök A komplex számok testében az n-edik egységgyökök pontosan az

alakú számok.

Legyen . Ekkor az n-edik egységgyökök alakja: .

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

Egy komplex szám n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem 1. Az egyik primitív egységgyök az , a további primitív egységgyökök azon hatványai, melyeknél a kitevő n-hez relatív prím.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké (ahol az Euler-függvényt jelöli).

A körosztási testek bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összege Ha n-edik egységgyök, akkor:

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkon A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így az egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis és , minden esetén.

Példák A második egységgyökök:

A harmadik egységgyökök:

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb:

Az ötödik egységgyökök A egyenlőség alapján , ahol .

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva adódik. Mivel a -os szög az 1. síknegyedben fekszik, ezért pozitív, és így . A valós rész ez alapján nyilvánvaló; a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinom Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az alakú polinomokat, ahol k < n osztója n-nek. Vegyük ezek legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy polinom, amit -nel szorozva -et kapunk. Ez az polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezése Legyen egységelemes kommutatív gyűrű. Egy gyűrűelem pontosan akkor egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciók egyikének: , valamely természetes számra; az polinom gyöke, valamely természetes számra.

Az n-edik -beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

Testekben A testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

Források Szele Tibor: Bevezetés az algebrába Fried Ervin: Algebra I–II.

Kategória:Komplex számok Kategória:Polinomok