A rotáció (ahogy a gradiens és a divergencia) a vektoranalízis egyik differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásaik jelentősek. A rotáció jelentése legszemléletesebb az áramlástanban, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.
Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.
Néhány gyakorlati példa
A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem. Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor. Egy autópályán, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók, a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.
Definíció
Az háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése: , ahol a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális vektoriális szorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:
A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel:
Gömbi koordinátákkal:
Hengerkoordinátákkal:
Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:
, ahol
A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.
Két dimenzióban
A vektortérben a következő módon számítható a rotáció:
Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.
A rotáció mint örvénysűrűség
Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:
Itt egy tetszőlegesen irányított normálisú kis felületdarab; felszíne , és irányított határgörbéje .
A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.
Felbontási tétel
A kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy örvénymentes rész és egy forrásmentes rész összegére:
.
Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:
, ahol .
A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha skalárpotenciálja helyett az vektorpotenciált vesszük, és a meg a kifejezéseket a meg a kifejezések helyettesítik
Stokes integráltétele A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:
Számolási szabályok Minden konstansra, minden skalármezőre és minden , vektormezőre fennáll:
linearitás:
differenciálformák:
további szorzási szabályok
Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre
Egy vektormező értelmezhető elsőrendű tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:
A tetszőleges rendű tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:
Források Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag,
Külső hivatkozások A rotációról érthetően (magyar)
Kategória:Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis