bélyegkép|A de Morgan-féle azonosságok logikai kapukkal ábrázolva A De Morgan-azonosságok a matematikai logika, illetve a halmazelmélet két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok Augustus De Morgan angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet William Ockham már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden Boole-algebrában érvényesek.
Azonosságok A De Morgan-azonosságokat logikailag a következőképpen fejezhetjük ki:
nem (a és b) = (nem a) vagy (nem b) nem (a vagy b) = (nem a) és (nem b)
A De Morgan-azonosságok felírására a matematikában számos különböző jelölés használatos. Az ítéletkalkulus formuláival például
vagy
A halmazelméletben ezen formulák megfelelői a következők:
ahol A az A komplementerhalmaza, jelöli két halmaz metszetét és jelöli két halmaz unióját.
Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálható I indexhalmazok esetét is:
és .
Következmények
Egy konjunkció (ÉS-kapcsolat) a De Morgan-azonosságok segítségével átalakítható három negáció és egy diszjunkció (VAGY-kapcsolat) kompozíciójára a következőképpen:
Hasonlóképpen egy diszjunkció átalakítható három negáció és egy konjunkció kompozíciójára:
Alkalmazás A De Morgan-azonosságok fontos alkalmazási területe a diszkrét matematika, az elektronika, a fizika és az informatika. Gyakran használják őket a digitális áramkörök fejlesztésében az alkalmazott logikai kapuk típusának egymással való felcserélésére, illetve a használt kapuk számának a csökkentésére.
Források De Morgan-azonosságok a MathWorld-ön De Morgan-azonosságok a PlanetMath-en Halmazelméleti bizonyítás tetszőleges indexhalmazra
Kategória:Halmazalgebra Kategória:Matematikai logika