Grafo Nodo Nastro di Möbius ToroFibrazione di Hopf Sfera cornuta di Alexander Insieme di Cantor3-varietà (un'ipersfera) La topologia (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio", col significato quindi di "studio dei luoghi") è una branca della matematica che studia le proprietà delle figure e, in generale, degli oggetti matematici, che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
È una delle più importanti branche della matematica moderna. Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. Si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico, funzione continua e omeomorfismo.
Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico. Per esempio, un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere ad alcuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione.
Storia
L'antenata della topologia è la geometria antica. L'articolo di Eulero del 1736 sui Sette ponti di KönigsbergEulero, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da alcun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.
Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nello spazio euclideo verso la fine del XIX secolo.
Nel 1895, nel suo Analysis SitusPoincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123, Henri Poincaré introdusse i concetti di omotopia e omologia, adesso considerati parte della topologia algebrica. A metà '800 risale la corrispondenza fra i matematici italiani Enrico Betti e Placido Tardy, raccolta a cura di André Weil, che verteva in particolare sulla connessione degli spazi topologici. Citato in amslaurea.unibo.it/11438, p. 2.
Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Guido Ascoli e altri, nel 1906 introdusse il concetto di spazio metricoFréchet, Maurice, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Tesi di dottorato, 1906.
Tra il 1910 e il 1912 Luitzen Brouwer dimostrò, tra gli altri, il teorema del punto fisso e quello dell'invarianza di dominio, fondamentali in topologia, il teorema della palla pelosa e introdusse la quantità di grado topologico.
Nel 1914 Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine di spazio topologico e definì quello che oggi è detto spazio di HausdorffHausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576).
Infine, nel 1922 Kazimierz Kuratowski, con un'ulteriore lieve generalizzazione, fornì il concetto odierno di spazio topologico.
Introduzione elementare Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dalla geometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la compattezza e la continuità. La topologia algebrica invece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti" (ad esempio numeri, gruppi, o anelli), più calcolabili, spesso servendosi di funtori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebra e sulla geometria algebrica.
La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio il teorema della sfera pelosa della topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per i Ponti di Königsberg, il risultato non dipende dall'esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.
Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione di equivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo fra loro: in questo caso sono detti omeomorfi e sono, ai fini topologici, esattamente identici.
Un omeomorfismo è formalmente definito come una funzione biettiva continua dotata di una inversa continua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due. Ad esempio, una tazza e una ciambella sono omeomorfi, come suggerito dall'animazione qui accanto.
Un semplice esercizio introduttivo consiste nel classificare le lettere maiuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica. Si ottiene il risultato seguente:
Esiste una nozione di equivalenza più debole dell'omeomorfismo, detta omotopia. Informalmente, questa nozione permette di trasformare gli oggetti l'uno nell'altro in modo leggermente più libero: è possibile ad esempio trasformare una in una accorciando progressivamente il piede della lettera fino a farlo scomparire. Si ottengono le classi seguenti:
Quest'ultima nozione distingue le lettere essenzialmente per il numero di "buchi": ne hanno uno, ne ha due, tutte le altre lettere nessuno. Il numero di buchi è quindi un invariante, una quantità utile a distinguere oggetti. Tale quantità si realizza formalmente con il concetto di gruppo fondamentale.
La topologia si presta molto bene anche per un approccio elementare allo studio della geometria. Il già citato "problema dei 7 ponti", ad esempio porta a riflessioni sulle reti nel piano, con nodi, archi e superfici. Il "problema dei 4 colori" affronta il tema di come si può colorare col minor numero possibile di colori diversi una superficie divisa in regioni separate, come potrebbe essere la cartina dell'Italia politica. Lo stesso nastro di Möbius costruito con carta, con la sua unica faccia ed il suo unico bordo, tagliato longitudinalmente in vari modi, consente osservazioni interessanti che stupiscono quasi come giochi di prestigio.
Nozioni di base La nozione fondamentale in topologia è quella di spazio topologico. Uno spazio topologico è un insieme di punti, dotato di una struttura che realizzi i concetti di vicinanza e lontananza fra questi. La struttura consiste in una collezione di insiemi di , detti aperti, che soddisfano delle proprietà simili a quelle degli insiemi aperti della retta reale .
Spazio topologico
Si definisce topologia una collezione di sottoinsiemi di un insieme tali che:.
L'insieme vuoto e appartengono a : e L'unione di una quantità arbitraria di insiemi appartenenti a appartiene a : L'intersezione di due insiemi appartenenti a appartiene a :
Uno spazio topologico è una coppia (, ), dove è un insieme e una topologia. In uno spazio topologico gli insiemi che costituiscono si dicono aperti in . I complementari degli insiemi aperti sono detti chiusi, sempre in analogia con gli insiemi chiusi di
Inoltre, dalla terza condizione di topologia, e per induzione, si deduce che l'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti a appartiene a .
Uno spazio metrico è un particolare spazio topologico, in cui due punti hanno una definita distanza , che quantifica concretamente la vicinanza (o lontananza) fra i due punti. È importante sottolineare però che la nozione di spazio topologico è più generale e flessibile, perché non necessita di definire con precisione la distanza fra due punti.
Lo spazio euclideo di dimensione è uno spazio metrico e quindi topologico. In particolare, il piano cartesiano e lo spazio 3-dimensionale sono spazi topologici.
Ogni sottoinsieme di uno spazio topologico è anch'esso in modo naturale uno spazio topologico. Ne segue che qualsiasi oggetto contenuto nel piano o nello spazio è uno spazio topologico: ad esempio un poligono, una corona circolare o oggetti molto più complessi come i frattali sono spazi topologici contenuti nel piano; una tazza, una ciambella, un nastro di Möbius sono spazi topologici contenuti nello spazio. Molti spazi topologici non sono contenuti né nel piano né nello spazio: un esempio è la bottiglia di Klein (che è però contenuta nello spazio 4-dimensionale).
Funzioni continue
La nozione di funzione continua è utile a modellizzare in modo rigoroso le "deformazioni ammissibili" che ad esempio trasformano una tazza in una ciambella. Una funzione
fra due spazi topologici è continua se la controimmagine di un insieme aperto di è un insieme aperto di . Questa nozione usa l'unica struttura a disposizione (gli insiemi aperti) e per quanto espressa in modo totalmente differente coincide (per funzioni da in ) con la più usuale nozione di funzione continua definita in analisi matematica con l'ausilio del calcolo infinitesimale, ovvero degli e dei .
Due spazi topologici e sono quindi omeomorfi se esistono due funzioni continue
che sono una l'inversa dell'altra. In altre parole, esiste una corrispondenza biunivoca fra e che mette in corrispondenza gli insiemi aperti di con quelli di .
Due spazi topologici omeomorfi sono quindi in un certo senso "uguali" (da un punto di vista topologico). Ad esempio, tazza e ciambella sono omeomorfi. Quadrato e cerchio sono omeomorfi. Ovviamente tali spazi possono non essere "uguali" se considerati da altri punti di vista: come spazi metrici, il quadrato ed il cerchio non sono uguali.
Spazio connesso
Uno spazio topologico è connesso se è "fatto di un pezzo solo". Formalmente, si chiede che non sia l'unione di due aperti disgiunti (entrambi non vuoti). Una nozione lievemente più forte è quella di connessione per archi: è connesso per archi se ogni coppia di punti è collegata da un arco continuo.
Uno spazio topologico è sempre unione disgiunta di alcuni spazi connessi naturali, detti componenti connesse.
Spazio compatto
In topologia la nozione di compattezza ha un ruolo molto importante. Uno spazio topologico contenuto in è compatto se è chiuso e limitato: ad esempio, la ciambella è compatta, mentre una retta no (perché è illimitata); una palla che contiene anche il suo bordo è compatta, una palla senza bordo no (perché non è chiusa).
La nozione di compattezza è definita per uno spazio arbitrario nel modo seguente: è compatto se ogni ricoprimento aperto contiene un sottoricoprimento finito. Per spazi metrici, questa nozione equivale alla definizione seguente usata in analisi: uno spazio è compatto se ogni successione ammette una sottosuccessione convergente. Informalmente, uno spazio è compatto se qualsiasi successione di punti converge (in un certo senso) a qualcosa.