In matematica, il teorema di Brunn-Minkowski (o disuguaglianza di Brunn-Minkowski) è una disuguaglianza che mette in relazione volumi (o, più in generale, misure di Lebesgue) di sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo. La versione originale del teorema di Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) si applicava a insiemi convessi; la generalizzazione a insiemi compatti non convessi a cui ci riferiamo qui è dovuta a L. A. Lyusternik (1935).
Enunciato del teorema Sia n ≥ 1 mentre μ denoti la misura di Lebesgue in Rn. Siano A e B due sottoinsiemi compatti non vuoti di Rn. Allora vale la seguente disuguaglianza:
dove A + B denota la somma di Minkowski:
Osservazioni La dimostrazione del 'teorema di Brunn-Minkowski stabilisce che la funzione
è concava nel senso che, per ogni coppia di sottoinsiemi compatti non vuoti A e B di Rn e per 0 ≤ t ≤ 1, si ha
Per due insiemi convessi A e B, la disuguaglianza nel teorema è stretta per 0 < t < 1 salvo nel caso in cui A e B siano omotetici, ossia uguali per traslazione e trasformazioni in scala.
Bibliografia
Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Voci correlate Isoperimetria (Disuguaglianza isoperimetrica) Teorema di Milman (Disuguaglianza di Brunn-Minkowski inversa) Formula di Minkowski-Steiner Disuguaglianza di Prékopa-Leindler Teorema di Vitale (Disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale)
Categoria:Teoria della misura