In matematica, una misura gaussiana è una misura di Borel su uno spazio euclideo finito-dimensionale Rn, strettamente correlata alla distribuzione normale in statistica. Esiste anche una generalizzazione a spazi infinito-dimensionali. Le misure gaussiane portano il nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Una ragione per la quale le misure gaussiane sono così diffuse nella teoria della probabilità è il teorema del limite centrale. In parole povere, esso stabilisce che se una variabile casuale X è ottenuta sommando un gran numero N di variabili casuali indipendenti di ordine 1, allora X è di ordine e la sua legge è approssimativamente gaussiana.
Definizioni Sia n ∈ N e indichiamo con B0(Rn) il completamento della 'σ-algebra di Borel su Rn. Indichiamo con λn : B0(Rn) → [0, +∞] l'usuale misura di Lebesgue n-dimensionale. Allora la misura gaussiana standard γn : B0(Rn) → [0, 1] è definita da
per ogni insieme misurabile A ∈ B0(Rn). In termini della derivata di Radon-Nikodym,
Più in generale, la misura gaussiana con media μ ∈ Rn e varianza σ2 > 0 è data da
Le misure gaussiane con media μ = 0 sono note come misure gaussiane centrate.
La misura di Dirac δμ è il limite debole di per σ → 0, ed è considerata una misura gaussiana degenere; viceversa, le misure gaussiane con varianza finita non nulla sono chiamate misure gaussiane non degeneri.
Proprietà La misura gaussiana standard γn su Rn è una misura di Borel (infatti, come osservato sopra, essa è definita sul completamento della 'σ-algebra di Borel, che è una struttura più raffinata); è equivalente alla misura di Lebesgue: , dove sta per continuità assoluta delle misure; è supportata in tutto lo spazio euclideo: supp(γn) = Rn; è una misura di probabilità (γn(Rn) = 1), sicché è localmente finita; è strettamente positiva: ogni insieme aperto non vuoto ha una misura positiva; è regolare interna: per ogni insieme di Borel A,
sicché la misura gaussiana è una misura di Radon; non è invariante per traslazione, ma soddisfa la relazione
dove la derivata al membro sinistro è la derivata di Radon-Nikodym, e (Th)∗(γn) è la misura immagine (pushforward measure) della misura gaussiana standard data dalla trasformazione di traslazione Th : Rn → Rn, Th(x) = x + h; è la misura di probabilità associata ad una distribuzione di probabilità normale:
Misure gaussiane su spazi infinito-dimensionali Si può dimostrare che non esiste un analogo della misura di Lebesgue in uno spazio vettoriale infinito-dimensionale. Comunque, è possibile definire misure gaussiane in spazi infinito-dimensionali; l'esempio più importante è la costruzione dello spazio di Wiener astratto. Una misura di Borel γ in uno spazio di Banach separabile E è detta misura gaussiana (centrata) non degenere se, per ogni funzionale lineare L ∈ E∗ eccetto L = 0, la misura immagine L∗(γ) è una misura gaussiana (centrata) non degenere su R nel senso definito sopra.
Per esempio, la misura di Wiener classica sullo spazio degli archi continui è una misura gaussiana.
Voci correlate Misura di Besov, una generalizzazione di misura gaussiana Teorema di Cameron-Martin
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Categoria:Teoria della misura Categoria:Processi stocastici