Il paradosso della conoscibilità di Fitch, anche conosciuto come paradosso della conoscibilità di Church-Fitch, dai nomi del logico Alonzo Church che lo dimostrò per primo, e di Frederic Fitch che lo riscoprì rendendolo noto, è uno dei principali rompicapi della logica epistemica. Consiste, in sostanza, nello sfidare l'accettabilità della tesi di conoscibilità (è possibile, in principio, conoscere un fatto vero), comune a diversi indirizzi di pensiero, mostrando che implicherebbe lonniscienza (tutti i fatti sono conosciuti, attualmente).

Il paradosso è problematico specialmente per i verificazionisti e anti-realisti, poiché tendono ad accettare la tesi di conoscibilità ma a rifiutare fortemente l'onniscienza.

Storia Il paradosso è diventato noto con l'articolo A Logical Analysis of Some Value ConceptsThe Journal of Symbolic Logic, 28, 2, June 1963, pp. 135-142. di Frederic B. Fitch (1908-1987), che citava una sconosciuta fonte in un articolo del 1945. L'articolo è stato individuato nel 2009 da Joe Salerno e lo si deve ad Alonzo Church.Joe Salerno (ed.), New Essays on the Knowability Paradox, Oxford, Oxford University Press, 2009. L'articolo di Church, “Referee Reports on Fitch’s ‘A Definition of Value’,” è ristampato alle pp. 13-20.

Esposizione La tesi del paradosso è "il principio di conoscibilità implica l'onniscienza", o equivalentemente dal punto di vista logico, "il principio di conoscibilità è incompatibile con la non onniscienza" e anche "la non onniscienza implica la falsità del principio di conoscibilità".

I passaggi logici della dimostrazione possono essere esposti colloquialmente come segue:

- Sia K l’insieme di tutte le affermazioni vere

- Ipotizziamo che tutto ciò che è vero (tutte le affermazioni in K) possa essere conosciuto

- Consideriamo x = “la frase p è una verità che non conosciamo”, e ipotizziamo sia vera

- Questo vuol dire che, per l'ipotesi al primo punto, è possibile arrivare a conoscere la frase x, e per l'ipotesi al secondo punto questa stia in K

- Ma se arrivassimo a conoscerla, allora sapremo anche che “p” è vera, contraddicendo x. Quindi x non può essere conosciuta e vera allo stesso tempo.

- Quindi x non può far parte dell’insieme K, che considera solo le frasi contemporaneamente vere e conoscibili

- Quindi tutte le frasi in K sono vere e conosciute, da cui l'onniscenza

La dimostrazione formale usa pochissime regole: (A) Sapere "p & q" implica "Sapere p & Sapere q", in simboli: (distributività di K su &); (B) Sapere qualcosa implica che essa sia vera, (o "se una cosa è falsa non si può dire di conoscerla"), in simboli: ; (C) Se qualcosa è logicamente vero, allora è necessario, in simboli: (regola di necessitazione); (D) Se è necessario che p sia falso, allora p non è possibile, in simboli: . Questa non è una vera regola, è solo una definizione che serve per scrivere la prova in meno spazio.

Ovviamente le assunzioni sono il principio di conoscibilità (KP) e la non onniscienza (NonO).

Premessa 1: (KP) Premessa 2: (NonO)

Dimostrazione: (1) "p & non si sa che p"

(istanza di NonO)

(2) "p & non si sa che p" implica che "è possibile sapere che (p & non si sa che p) (da premessa 2, eliminazione di ∀) (3) "è possibile sapere che: p & non si sa che p" (da 1, 2 via Modus Ponens) (4) "si sa che: p & non si sa che p" (ipotesi ad absurdum, istanza di 3) (5) "si sa p e si sa che non si sa p" (da 4 via A) (6) "si sa p e non si sa p" (da 5 via B) (7) "non si sa che: p e non si sa che p" (reductio ad absurdum da 4→6 - 6 è una contraddizione) (8) "è necessario non sapere che p & non si sa che p" (da 7 via C) (9) "è impossibile sapere che: p & non si sa che p" (da 8 via D)

(10) (KP) implica l'Onniscienza, e la non Onniscienza implica che non è possibile conoscere qualsiasi proposizione ovvero (per reductio ad absurdum su 1,2→3 tramite 9, )

Note

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