L'esagono logico è un modello concettuale delle relazioni esistenti fra i valore di verità di sei proposizioni. Si tratta di una estensione del quadrato delle opposizioni, derivato da Aristotele. Per vie parallele e indipendenti, fu scoperto dal logico francese Augustin Sesmat (1885-1957) e dal filosofo della matematica Robert Blanché (1898–1975).
L'estensione consiste nell'introduzione di due proposizioni U e Y, dove U è la disgiunzione degli universali A ed E, mentre Y è la congiunzione delle due tradizionali proposizioni particolari I ed O.
Riepilogo delle relazioni Il più noto quadrato delle opposizioni mostra due sottoinsiemi di proposizioni contraddittorie A e O, e la coppia E e I (cioè che non possono essere entrambe vere oppure entrambe false contemporaneamente), due contrarie A ed E (che possono essere entrambe false, ma non possono essere entrambe vere), e due sub-contrarie I e O (che possono essere entrambe vere, ma non possono essere entrambe false), in accordo con le definizioni di Aristotele. Ora, l'esagono logico ci mostra che U e Y sono contraddittorie tra loro.
Interpretazione dell'esagono logico L'esagono logico è interpretabile in diversi modi, che includono logica classica, quantificatori, logica modale, Teoria degli ordini, o Logica paraconsistente.
La proposizione A può essere interpretata come "Ogni uomo è bianco." (∀x)(Mx → Wx) ∧ (∃x)(Mx)
La proposizione E può essere interpretata come "Ogni uomo è non-bianco." (∀x)(Mx → ¬Wx)
La proposizione I può essere interpretata come "Alcuni uomini sono bianchi." (∃x)(Mx ∧ Wx)
La proposizione O può essere interpretata come "Non ogni uomo è bianco." (∃x)(Mx ∧ ¬Wx) ∨ ¬(∃x)(Mx)
La proposizione U può essere interpretata come "Ogni uomo o è bianco oppure è non-bianco" (∀x)(Mx → Wx) ∨ (∀x)(Mx → ¬Wx)
La proposizione Y può essere interpretata come "Qualche uomo è bianco e qualche uomo è non-bianco" (∃x)(Mx ∧ Wx) ∧ (∃x)(Mx ∧ ¬Wx)
Logica modale L'esagono logico può essere anche interpretato come un modello di logica modale tale che
A è interpretata come condizione necessaria e sufficiente (o necessità modale: è così e non poteva non-essere o essere altrimenti) E è interpretata come impossibilità I è interpretata come possibilità logica O è interpretata come 'non-necessariamente' U è interpretata come non-contingente Y è interpretata come contingenza (è così, ma poteva essere altrimenti o non-essere)
Ulteriori estensioni È stato dimostrato che sia il quadrato che l'esagono logico possono essere ulteriormente estesi ad un (iper-)cubo logico tipo, attraverso una serie regolare di oggetti n-dimensionali chiamati "bi-simplessi logici di dimensione n". Il modello va anche di là di questo.Moretti, Pellissier
Blanchè [1953; 1966] notò che aggiungendo Y ed U si otteneva un esagono logico AUEOYI che includeva tre quadrati delle opposizioni AEOI, YAUO e YEUI, ciascuno dei quali esibiva al proprio interno le relazioni note (contrarie, contraddittorie, subcontrarie). Un simile esagono si ottiene ogni volta che partiamo da tre proposizioni reciprocamente esclusive come A, E e Y (Dubois e Prade, 2012a). Passando alla notazione propria di una logica del primo ordine per negare i predicati, abbiamo ¬P e ¬Q per la negazione di P e Q fino ad ottenere un quadrato logico delle negazioni aeoi (in carattere minuscolo) in cui aggiungiamo l'ipotesi che insieme dei ¬P non sia un insieme vuoto.
A questo punto, le 8 proposizioni (A, E, O, I, a, e, o, i) possono essere organizzate nel cubo logico. Ipotizzare che esiste almeno un elementi di P e almeno un elemento di ¬P, implica che esiste almeno un elemento di Q ed almeno un elemento di ¬Q. Da ciò segue che: A implica i, a implica I, e implica O, E implica o.
e che le coppie ai vertici: a ed E, A ed e non possono essere entrambe vere; mentre i vertici i e O, I e o non possono essere entrambe false. Infine, non esistono relazioni logiche tra A e a, E ed e, I e i, O e o.
Note .
Bibliografia Jean-Yves Beziau (2012), "The power of the hexagon", Logica Universalis 6, 2012, 1-43. Blanché (1953) Blanché (1957) Blanché Structures intellectuelles (1966) Gallais, P.: (1982) Gottschalk (1953) Kalinowski (1972) Monteil, J.F.: The logical square of Aristotle or square of Apuleius.The logical hexagon of Robert Blanché in Structures intellectuelles.The triangle of Indian logic mentioned by J.M Bochenski.(2005) Moretti (2004) Moretti (Melbourne) Pellissier, R.: " "Setting" n-opposition" (2008) Sesmat (1951) Smessaert (2009)
Collegamenti esterni
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