In matematica, la disuguaglianza di Schur stabilisce che per tutti i numeri reali e per un numero positivo vale:
con uguaglianza solo se x = y = z o se due di loro sono uguali e l'altro è zero. Quando è un intero pari e positivo la disuguaglianza è valida per tutti i reali x, y e z.
Un generalizzazione di questa disuguaglianza è la seguente:
Siano dati tre reali positivi a, b, c. Se la tripla (a, b, c) e (x, y, z) sono ordinate con la stessa monotonia, allora vale la seguente disuguaglianza:
Dimostrazione Per dimostrare la disuguaglianza consideriamo il seguente lemma: Lemma Siano numeri reali positivi, con:
allora vale: . In particolare: se allora per e vale l'inverso, se per e vale l'inverso. Inoltre vale l'uguaglianza per se e solo se vale per e , e vale: . Dimostrazione Se , dalla disuguaglianza di Hölder segue:
allora segue combinando con e . La dimostrazione per gli altri casi è analoga.
Di seguito la dimostrazione della disuguaglianza di Schur: Dimostrazione Supponiamo, senza perdere di generalità, che: , consideriamo allora il lemma precedente ponendo: . Allora è equivalente all'enunciato. Inoltre le condizioni e sussistono poiché: .
Voci correlate Disuguaglianza di Hölder
Note
Bibliografia
Collegamenti esterni
Schur, disuguaglianza di