In fisica teorica, la teoria della gravitazione di Nordström è stata un precursore della relatività generale. Parlando in senso stretto, ci sono state, effettivamente, due distinte teorie proposte dal fisico teorico finlandese Gunnar Nordström, nel 1912 e nel 1913, rispettivamente. La prima fu abbandonata rapidamente, ma la seconda divenne il primo esempio conosciuto di una teoria metrica della gravitazione, nella quale gli effetti della gravitazione sono interamente trattati in termini di geometria di uno spaziotempo curvo.
Nessuna delle teorie di Nordström è in accordo con le osservazioni e con i risultati sperimentali. Tuttavia, la prima resta di interesse poiché ha portato alla seconda; la seconda resta di interesse, sia come un'importante pietra miliare sulla strada verso la teoria corrente della gravitazione, la relatività generale, sia come un semplice esempio di teoria relativistica autoconsistente della gravitazione. Per esempio, questa teoria è particolarmente utile nel contesto delle discussioni pedagogiche su come derivare e testare le predizioni di una teoria metrica della gravitazione.
Sviluppo delle teorie Le teorie di Nordström si sono sviluppate in un momento in cui diversi fisici, compresi Nordström a Helsinki, Max Abraham a Milano, Gustav Mie a Greifswald, in Germania, e Albert Einstein a Praga, stavano tutti cercando di formulare teorie relativistiche della gravitazione concorrenti tra loro.
Tutti questi ricercatori cominciarono cercando di modificare in modo adeguato la teoria esistente, ossia la versione secondo la teoria classica dei campi della teoria della gravitazione di Newton. In questa teoria, l'equazione di campo è l'equazione di Poisson , dove è il potenziale gravitazionale e è la densità di materia, affiancata da un'equazione del moto per una particella di prova in un campo gravitazionale, che possiamo derivare dalla legge di forza di Newton e che afferma che l'accelerazione della particella di prova è data dal gradiente del potenziale
Tale teoria non è relativistica perché l'equazione del moto si riferisce al tempo come coordinata piuttosto che al tempo proprio e perché, se la materia di qualche oggetto isolato viene improvvisamente ridistribuita da un'esplosione, l'equazione di campo richiede che il potenziale, ovunque nello spazio, deve mutare istantaneamente, il che viola il principio in base al quale ogni informazione che ha un effetto fisico (in questo caso, un effetto sul moto della particella di prova lontano dalla sorgente del campo) non può essere trasmessa a velocità maggiore della velocità della luce. L'ex professore di calcolo di Einstein, Hermann Minkowski, aveva elaborato una teoria vettoriale della gravitazione già nel 1908, ma nel 1912, Abraham mostrò che tale teoria non avrebbe ammesso orbite planetarie stabili. Questa fu una ragione per la quale Nordström rivolse l'attenzione a teorie scalari della gravitazione (mentre Einstein esplorava le teorie tensoriali).
Il primo tentativo di Nordström di proporre una corretta equazione di campo scalare relativistica della gravitazione era la scelta più semplice e più naturale immaginabile: semplicemente, sostituire il laplaciano nell'equazione di campo per la teoria newtoninana con il dalembertiano o operatore d'onda, che dà . Questo ha il risultato di cambiare l'equazione di campo nel vuoto dall'equazione di Laplace all'equazione delle onde, il che significa che ogni informazione sulla ridistribuzione della materia in una posizione viene trasmessa alla velocità della luce alle altre posizioni. Corrispondentemente, potrebbe sembrare che la congettura più semplice per una corretta equazione del moto per una particella di prova sia dove il punto significa derivazione rispetto al tempo proprio, gli indici successivi alla virgola indicano la derivazione parziale rispetto alla coordinata indicizzata e dove è la quadrivelocità della particella di prova. Questa legge di forza era stata precedentemente proposta da Abraham e Nordström sapeva che non avrebbe funzionato. Pertanto, egli, invece, propose .
Tuttavia, questa teoria è inaccettabile per una serie di motivi. Due obiezioni sono teoriche. In primo luogo, questa teoria non è derivabile da una lagrangiana, a differenza della teoria di campo newtoniana (o della maggior parte delle teorie metriche della gravitazione). In secondo luogo, l'equazione di campo proposta è lineare. Ma per analogia con l'elettromagnetismo, ci si dovrebbe aspettare che al campo gravitazionale sia associata dell'energia e, in base al lavoro di Einstein sulla teoria della relatività, ci si dovrebbe, inoltre, aspettare che tale energia sia equivalente alla massa e perciò alla gravità. Ciò implica che l'equazione di campo dovrebbe essere non lineare. Un'altra obiezione è più pratica: Questa teoria è drasticamente in disaccordo con le osservazioni.
Einstein e von Laue proposero che il problema potesse riguardare l'equazione di campo che, come essi suggerirono, dovrebbe avere la forma lineare , dove F è una funzione ancora incognita di e dove Tmateria è la traccia del tensore energia-impulso che descrive la densità, la quantità di moto e lo sforzo di tutta la materia presente.
In risposta a queste critiche, Nordström propose la sua seconda teoria nel 1913. Dalla proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitaazionale, egli dedusse che l'equazione di campo dovrebbe essere , che è non lineare. Nordström, a questo punto, assunse che l'equazione del moto fosse
oppure .
Einstein, alla prima occasione annunciò la sua approvazione della nuova teoria. In un intervento chiave alla riunione annuale della Società degli Scienziati e Fisici Tedeschi, a Vienna, il 23 settembre 1913, Einstein esaminò lo stato dell'arte, dechiarando che solo il suo lavoro con Marcel Grossmann e la seconda teoria di Nordström erano degni di considerazione. (Mie, che era nel pubblico, si alzò per protestare, ma Einstein spiegò i suoi criteri e Mie fu costretto ad ammettere che la sua teoria non li rispettava.) Einstein considerò il caso particolare in cui l'unica materia presente sia una nuvola di polvere (cioè un fluido perfetto in cui si assume che la pressione sia trascurabile). Egli sostenne che il contributo di questa materia al tensore energia-impulso dovrebbe essere:
Dopo, egli derivò un'espressione per il tensore energia-impulso del campo gravitazionale nella seconda teoria di Nordström,
proponendo che fosse valida in generale, e dimostrò che la somma dei contributi al tensore energia-impulso dati dall'energia del campo gravitazionale e dalla materia sarebbe conservata, come è giusto che sia. Inoltre, dimostrò che l'equazione di campo della seconda teoria di Nordström segue dalla lagrangiana
Poiché l'equazione del moto di Nordström per le particelle di prova in un campo gravitazionale anche segue da una lagrangiana, ciò dimostra che la seconda teoria di Nordström può essere derivata da un principio d'azione e dimostra anche che essa obbedisce ad altre proprietà che occorre richiedere ad una teoria di campo autoconsistente. Nel frattempo, uno studente olandese dotato, Adriaan Fokker, scrisse una tesi di dottorato sotto la guida di Hendrik Lorentz in cui derivava ciò che oggi è chiamata equazione di Fokker-Planck. Lorentz, contento per il successo del suo ex-studente, organizzò per fare in modo che Fokker proseguisse lo studio di post-dottorato con Einstein a Praga. Il risultato fu un articolo storico, pubblicato nel 1914, in cui Einstein e Fokker osservavano che la lagrangiana per l'equazione del moto di Nordström per le particelle di prova, , è la lagrangiana corrispondente alla geodetica per una varietà lorentziana curva con tensore metrico . Se si adottano le coordinate cartesiane con elemento di linea con il corrispondente operatore d'onda sul background piatto, o spaziotempo di Minkowski, in modo tale che l'elemento di linea dello spaziotempo curvo sia , allora lo scalare di Ricci di questo spaziotempo è soltanto
Pertanto, l'equazione di campo di Nordström diventa semplicemente
dove al membro di destra è stata presa la traccia del tensore energia-impulso (con i contributi dati dalla materia più ogni campo non gravitationale) usando il tensore metrico . Questo è un risultato storico, perché qui, per la prima volta, si ha un'equazione di campo in cui al membro sinistro si trova una quantità puramente geometrica (lo scalare di Ricci è la traccia del tensore di Ricci, che è esso stesso un tipo di traccia del Tensore di curvatura di Riemann di quarto rango) e al membro destro si trova una quantità puramente fisica, la traccia del tensore energia-impulso. Einstein sottolineò che questa equazione ora assumeva la forma che aveva precedentemente proposto con von Laue e dava un esempio concreto di una classe di teorie che aveva studiato con Grossmann Qualche tempo dopo, Hermann Weyl introdusse il Tensore di curvatura di Weyl , che misura la deviazione di una varietà lorentziana dall'essere conformemente piatta, cioè con il tensore metrico che abbia la forma di un prodotto di una certa funzione scalare per il tensore metrico di uno spaziotempo piatto. Questa è esattamente la forma speciale della metrica proposta nella seconda teoria di Nordström, dunque l'intero contenuto di questa teoria può essere sintetizzato nelle seguenti due equazioni:
Caratteristiche della teoria di Nordström Einstein fu attratto dalla seconda teoria di Nordström per la sua semplicità. Le equazioni di campo per il vuoto nella teoria di Nordström sono semplici
È possibile scrivere immediatamente la soluzione generale per il vuoto nella teoria di Nordström:
dove e è l'elemento di linea per lo spaziotempo piatto in qualsiasi sistema di coordinate conveniente (come le coordinate cilindriche, sferiche polari o doppiamente nulle) e dove è l'operatore d'onda ordinario sullo spaziotempo piatto (espresso in coordinate cilindriche, sferiche polari o doppiamente nulle, rispettivamente). Ma la soluzione generale dell'equazione delle onde tridimensionale ordinaria è ben nota e può essere data in forma piuttosto esplicita. Specialmente, per certi sistemi di coordinate come le coordinate cilindriche o sferiche polari sullo spaziotempo piatto (che inducono delle coordinate corrispondenti sulla nostra varietà lorentziana curva), possiamo scrivere la soluzione generale in termini di serie di potenze e possiamo scrivere la soluzione generale di certi problemi di Cauchy nel modo familiare mediante i potenziali di Liénard-Wiechert in elettromagnetismo.
In ogni soluzione per le equazioni di campo di Nordström's (vuoto o altrimenti), se immaginiamo che controlli una perturbazione conforme dallo spaziotempo piatto, allora al primo ordine in abbiamo
Pertanto, nell'approssimazione di campo debole, possiamo identificare con il potenziale gravitazionale newtoniano e possiamo considerarlo come se controllasse una piccola perturbazione conforme in uno spaziotempo piatto di background.
In ogni teoria metrica della gravitazione, tutti gli effetti gravitazionali derivano dalla curvatura della metrica. In un modello di spaziotempo nella teoria di Nordström (ma non nella relatività generale), questo dipende solo dalla traccia del tensore energia-impulso. Ma l'energia di campo di un campo elettromagnetico contribuisce con un termime al tensore energia-impulso che è a traccia nulla, dunque nella teoria di Nordström, l'energia del campo elettromagnetico non gravita! Infatti, poiché ogni soluzione delle equazioni di campo di questa teoria è uno spaziotempo che è, tra l'altro, conformemente equivalente allo spaziotempo piatto, le geodetiche nulle devono essere in accordo con lo geodetiche del background piatto, in modo tale che questa teoria non possa presentare alcuna increspatura.