Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni. Definizione Se , allora il potenziale di Riesz di una funzione localmente integrabile su è la funzione definita come
dove la costante è data da
Questo integrale singolare è ben definito se all'infinito decade sufficientemente veloce, in particolare se Lp(Rn) dove . In effetti, per ogni ( è classico, grazie a Sobolev, mentre per vedere (Schikorra, Spector & Van Schaftingen))), la velocità di decadimento di e e quella di sono collegate da una disuguaglianza (la disuguaglianza di Hardy–Littlewood–Sobolev)
dove è la trasformata vettoriale di Riesz. In generale, gli operatori sono ben definiti per complesso tale che .
Più in generale, si può definire il potenziale di Riesz più debolmente come la convoluzione
dove è una funzione localmente integrabile:
Pertanto si può definire il potenziale di Riesz ogni volta che è una distribuzione a supporto compatto. In questo contesto, il potenziale di Riesz di una misura di Borel con supporto compatto è di principale interesse nella teoria del potenziale, poiché è allora una funzione subarmonica (continua) fuori dal supporto di , ed è inferiormente semicontinua su tutto .
Proprietà Considerazioni sulla trasformata di Fourier rivelano che il potenziale di Riesz è un moltiplicatore di Fourier.. Infatti, si ha
e quindi, per il teorema di convoluzione,
I potenziali di Riesz soddisfano la seguente proprietà di semigruppo su, per esempio, le funzioni continue rapidamente decrescenti
posto che
Inoltre, se , allora
In aggiunta si ha, per questa classe di funzioni,
Note
Bibliografia
Solomentsev, E.D. (2001) , "Riesz potential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Voci correlate Potenziale di Bessel Calcolo frazionario Spazio di Sobolev
Categoria:Teoria del potenziale Categoria:Equazioni alle derivate parziali