Il teorema di Viviani, un teorema della geometria euclidea, afferma che la somma delle tre distanze dai lati di un qualunque punto di un triangolo equilatero è costante, e uguale all'altezza del triangoloUna dimostrazione del teorema fu proposta dal matematico Vincenzo Viviani nel 1659.Per estensione questa proprietà della somma costante delle distanze di un punto della figura geometrica dai lati appartiene a tutti i poligoni regolari, i poligoni equilateri, i poligoni equiangoli e i poligoni con i lati opposti paralleli.. Prende il nome dal matematico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) che lo dimostrò.
Dimostrazione La dimostrazione si basa sul fatto che l'area del triangolo è data dalla regola base per altezza diviso due.
Sia ABC un triangolo equilatero di altezza h e lato a.
Sia P un punto interno del triangolo, e u, s, t le distanze da P dai suoi rispettivi lati. I segmenti che da P incontrano i vertici A, B, e C, suddividono il triangolo ABC in tre triangolini PAB, PBC, e PCA. Poiché il triangolo è equilatero, le loro rispettive basi sono uguali (e costanti) al lato a del triangolo ABC.
Le tre rispettive aree sono , , e . La loro somma fornisce l'area del triangolo. Per cui:
e quindi
u + s + t = h.
Q.E.D.
Note
Bibliografia
Ken-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: On Viviani’s Theorem in Three Dimensions. In: The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 515 (Jul., 2005), S. 283–287 () Hans Samelson: Proof without Words: Viviani’s Theorem with Vectors. In: Mathematics Magazine, Vol. 76, No. 3 (Jun., 2003), S. 225 ()
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