Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov. In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come , è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.
Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, F, P) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, F, P) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.
Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox.
Assiomi
Primo assioma La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:
dove è lo spazio degli eventi. Segue che è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.
Secondo assioma La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)
Terzo assioma Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi) soddisfa
Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .
Conseguenze Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.
La probabilità dell'insieme vuoto
In alcuni casi, non è l'unico evento con probabilità 0.
Monotonicità
Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.
Dimostrazione:
P(B) = P(B∩Ω) = P(B∩(Ac∪A)) = P((B∩A)∪(B∩Ac)) = P((B∩A) + P(B∩Ac) = P(A) + P(B∩Ac) >= P(A)
L'intervallo di definizione Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che
Ulteriori conseguenze Un'altra proprietà importante è:
Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:
In primo luogo,
(per il terzo Assioma)
Quindi,
(perché ).
E,
sottraendo da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.
Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .
Chiamando B come complemento A c di A nella legge addizionale si ottiene
Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.
Esempio semplice: lancio della moneta Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.
Possiamo definire:
Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:
La probabilità di non avere testa o croce è 0.
La probabilità di una testa o croce, è 1.
La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.
Bibliografia
Voci correlate Algebra di Borel σ-algebra Insiemistica Probabilità condizionale
Collegamenti esterni Calcolo delle probabilità di Kolmogorov, Stanford Encyclopedia of Philosophy. La definizione formale di probabilità nel sistema Mizar e l' hanno dimostrato formalmente al riguardo.
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