Il principio del min-max è uno dei principali strumenti del calcolo delle variazioni per la ricerca di punti critici. sono molti i teoremi ad esso intimamente legati come ad esempio il teorema del passo montano.
Teorema Sia uno spazio di Banach e sia un funzionale di classe che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Sia una collezione non vuota di sottoinsiemi non vuoti di , con le seguenti proprietà: per ogni e per , sufficientemente piccolo, il flusso associato dato dal lemma della deformazione è tale che per ogni si ha che .
Posto , se allora è un valore critico di .
Dimostrazione Supponiamo per assurdo che non è un valore critico. Si scelga tale che per sufficientemente piccolo. Allora, , quindi e questo contraddice la definizione di in quanto .
Bibliografia
Kesavan, Srinivasan. Nonlinear functional analysis: a first course. Springer, 2004.
Voci correlate Calcolo delle variazioni
Categoria:Calcolo delle variazioni