In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.
Terne pitagoriche primitive
Una terna di numeri interi è una terna pitagorica se ; è una terna pitagorica primitiva se non hanno fattori in comune, cioè se .
Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi con che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari): (cateto dispari) (cateto pari) (ipotenusa) La relazione inversa permette di calcolare per ogni terna:
Considerando e come coordinate del piano complesso ( e ), si hanno le rispettive coordinate polari e . Si ottiene la relazione:
da cui e .
La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:
Alberi di terne pitagoriche primitive Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi..
Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla oppure alla coppia
Albero UAD Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:.....
con le corrispondenti per le coppie:
Albero FB Il secondo albero, introdotto da Firstov e Price., utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:
con le corrispondenti per le coppie:
Albero UMT Il terzo albero, determinato da Firstov, ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:
con le corrispondenti per le coppie:
Note
Bibliografia
(Bozza di traduzione in inglese)
Voci correlate Terna pitagorica Albero (informatica)
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Categoria:Teoria dei numeri