In matematica, in particolare in teoria dell'omologia e in topologia algebrica, coomologia è un termine generale per indicare una successione di gruppi abeliani associati a uno spazio topologico, spesso definiti da un complesso di cocatene. La coomologia può essere vista come un metodo per assegnare a uno spazio topologico invarianti algebrici più ricchi rispetto all'omologia. Alcune versioni della coomologia nascono da un dualismo con la costruzione omologica. In altre parole, le cocatene sono funzioni sul gruppo delle catene della teoria omologica.
Dopo la sua nascita in ambito topologico, il concetto di coomologia è diventato un elemento fondamentale della matematica nella seconda metà del ventesimo secolo. Dall'idea iniziale di omologia come metodo per costruire invarianti algebrici di spazi topologici, il numero di applicazioni delle teorie dell'omologia e della coomologia si è ampliata sia in geometria che in algebra. La terminologia tende a nascondere il fatto che, in molte applicazioni, la coomologia, una teoria controvariante, è più naturale dell'omologia. Questo ha a che fare con funzioni e pullback in ambito geometrico: dati due spazi e e una funzione su per qualsiasi mappa la composizione con dà origine a una funzione su Le teorie della coomologia più importanti hanno un prodotto, il prodotto cup, che conferisce loro una struttura di anello. A causa di questa caratteristica, la coomologia è solitamente un invariante più forte dell'omologia.
Coomologia singolare La coomologia singolare è un potente invariante topologico che a ogni spazio topologico associa un anello anticommutativo graduato. Ogni funzione continua determina un omomorfismo dall'anello di coomologia di a quello di Questo pone forti restrizioni sulle possibili mappe da a A differenza di invarianti più sottili come i gruppi di omotopia, l'anello di coomologia tende a essere effettivamente calcolabile per molti spazi comunemente considerati.
Per uno spazio topologico la definizione di coomologia singolare inizia con il complesso di catene singolari:Hatcher (2001), p. 108.
Per definizione, l'omologia singolare di è l'omologia di questo complesso di catene (il nucleo di un omomorfismo modulo l'immagine del precedente). Più in dettaglio: è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme delle funzioni continue dall'-simplesso standard a (chiamato -simplesso singolare in ), e è l'-esimo omomorfismo di bordo. I gruppi sono nulli per
Si fissi un gruppo abeliano e si sostituisca ogni gruppo con il suo gruppo duale e con il suo omomorfismo duale
In questo modo si "invertono tutte le frecce" del complesso originale ottenendo un complesso di cocatene
Per un numero intero il gruppo di coomologia -esimo di con coefficienti in è ed è indicato con Il gruppo è nullo per Gli elementi di sono chiamati -cocatene singolari con coefficienti in Equivalentemente, una -cocatena su può essere identificata con una funzione dall'insieme degli -simplessi singolari di ad Gli elementi di e sono chiamati rispettivamente cocicli e cobordi, mentre gli elementi di sono chiamati classi di coomologia (perché sono classi di equivalenza di cocicli).
Nel seguito, il gruppo dei coefficienti a volte è omesso. Spesso si sceglie un anello commutativo come gruppo dei coefficienti; in tal caso i gruppi di coomologia sono -moduli. Una scelta standard è l'anello degli interi
Alcune delle proprietà formali della coomologia derivano direttamente delle proprietà dell'omologia:
Una funzione continua determina un omomorfismo pushforward in omologia e un omomorfismo pullback in coomologia. Questo rende la coomologia un funtore controvariante dagli spazi topologici ai gruppi abeliani (o -moduli). Due funzioni omotope da a inducono lo stesso omomorfismo in coomologia (proprio come in omologia). La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento di calcolo in coomologia come in omologia. Si noti che l'omomorfismo di bordo aumenta (anziché diminuire) il grado in coomologia. Cioè, se uno spazio è l'unione di due sottoinsiemi aperti e allora c'è una successione esatta lunga:
Esistono gruppi di coomologia relativi per ogni sottospazio di uno spazio Sono legati agli usuali gruppi di coomologia da una successione esatta lunga:
Il teorema del coefficiente universale descrive la coomologia in termini dell'omologia utilizzando i gruppi Ext. Più precisamente: c'è una successione esatta corta:
Un risultato correlato è il seguente: per un campo il gruppo è precisamente lo spazio duale dello spazio vettoriale .
Se è una varietà topologica o un CW-complesso, allora i gruppi di coomologia sono nulli per maggiore della dimensione di Hatcher (2001), Theorem 3.5; Dold (1972), Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4. Se è una varietà compatta (eventualmente con bordo), o un CW-complesso con un numero finito di celle per ogni dimensione, e è un anello noetheriano commutativo, allora l'-modulo è finitamente generato per ogni Dold (1972), Propositions IV.8.12 and V.4.11.
D'altra parte, la coomologia ha una struttura che l'omologia non ha: per ogni spazio topologico e per ogni anello commutativo esiste un operatore bilineare, chiamato prodotto cup:
definito da una formula esplicita su cocatene singolari. Il prodotto delle classi di coomologia e è scritto come o semplicemente come Questo prodotto rende la somma diretta
un anello graduato, chiamato anello di coomologia di Esso è anticommutativo graduato nel senso che:Hatcher (2001), Theorem 3.11.
Per ogni funzione continua il pullback è un omomorfismo di -algebre graduate. Ne consegue che se due spazi sono omotopicamente equivalenti, allora i loro anelli di coomologia sono isomorfi.
Di seguito sono elencate alcune delle interpretazioni geometriche del prodotto cup. Nel seguito, le varietà sono intese senza bordo se non diversamente specificato. Per varietà chiusa si intende una varietà compatta (senza bordo), mentre per sottovarietà chiusa di una varietà differenziabile è una sottovarietà che è un sottoinsieme chiuso di non necessariamente compatto (sebbene sia automaticamente compatta se lo è).
Sia una varietà orientata chiusa di dimensione Allora la dualità di Poincaré dà un isomorfismo Di conseguenza, una sottovarietà orientata chiusa di codimensione in determina una classe di coomologia in indicata con In questi termini, il prodotto cup descrive l'intersezione delle sottovarietà. Ossia se e sono sottovarietà di codimensione rispettivamente e che si intersecano trasversalmente, allora
dove l'intersezione è una sottovarietà di codimensione con un'orientazione determinata dalle orientazioni di e Nel caso di varietà differenziabili, se e non si intersecano trasversalmente, questa formula può ancora essere utilizzata per calcolare il prodotto cup perturbando o per rendere trasversale l'intersezione.
Più in generale, senza supporre che abbia un'orientazione, una sottovarietà chiusa di con un'orientazione sul suo fibrato normale determina una classe di coomologia su Se è una varietà non compatta, allora una sottovarietà chiusa (non necessariamente compatta) determina una classe di coomologia su In entrambi i casi, il prodotto cup può essere nuovamente descritto in termini di intersezioni di sottovarietà.
Thom ha costruito una classe di coomologia intera di grado 7 su una varietà differenziabile di dimensione 14 che non è la classe di nessuna sottovarietà differenziabile.Thom (1954), pp. 62–63. D'altra parte ha dimostrato che ogni classe di coomologia intera di grado positivo su una varietà differenziabile ha un multiplo positivo che è la classe di una sottovarietà differenziabile.Thom (1954), Theorem II.29. Inoltre, ogni classe di coomologia intera su una varietà differenziabile può essere rappresentata da una "pseudovarietà differenziabile", cioè un complesso simpliciale che è una varietà differenziabile al di fuori di un sottoinsieme chiuso di codimensione almeno 2.
Per una varietà differenziabile il teorema di de Rham dice che la coomologia singolare di con coefficienti reali è isomorfa alla coomologia di de Rham di definita usando le forme differenziali. Il prodotto cup corrisponde al prodotto delle forme differenziali. Questa interpretazione ha il vantaggio che il prodotto su forme differenziali è anticommutativo graduato, mentre il prodotto su cocatene singolari è solo anticommutativo graduato a meno di omotopia di catene. Infatti è impossibile modificare la definizione di cocatene singolari con coefficienti negli interi o in per un numero primo per definire correttamente il prodotto anticommutativo graduato. Il fallimento dell'anticommutatività graduata a livello di cocatene porta alle operazioni di Steenrod sulla coomologia modulo
In modo molto informale, in ogni spazio topologico un elemento di può essere pensato come rappresentato da un sottospazio di codimensione di che possa muoversi liberamente su Ad esempio, un modo per definire un elemento di è dare una funzione continua da a una varietà differenziabile e una sottovarietà chiusa di codimensione di con un'orientazione sul fibrato normale. Sempre in modo informale, si può pensare alla classe risultante come appartenente al sottospazio di Questo è motivato dal fatto che la classe si restringe allo zero nella coomologia del sottoinsieme aperto La classe di coomologia può muoversi liberamente su nel senso che potrebbe essere sostituito da una qualsiasi deformazione continua di all'interno di
Esempi In quanto segue la coomologia è considerata con coefficienti negli interi salvo diversamente specificato.
L'anello di coomologia di un punto è l'anello di grado 0. Per invarianza omotopica, questo è anche l'anello di coomologia di qualsiasi spazio contraibile, come lo spazio euclideo Per un intero positivo l'anello di coomologia della sfera è (il quoziente di un anello polinomiale per l'ideale dato), con di grado In termini della dualità di Poincaré, è la classe di un punto sulla sfera. L'anello di coomologia del toro è l'algebra esterna su con generatori di grado 1.Hatcher (2001), Example 3.16. Ad esempio, sia un punto sulla circonferenza e il punto nel toro bidimensionale Allora la coomologia di ha una base come -modulo libero data da: l'elemento 1 di grado 0, e di grado 1 e di grado 2. Implicitamente, le orientazioni del toro e delle due circonferenze si considerano fissate. Notare che per l'anticommutatività graduata. Più in generale, sia un anello commutativo e siano e spazi topologici qualsiasi tali che sia un -modulo libero finitamente generato in ogni grado (non è necessaria alcuna ipotesi su ). Dalla formula di Künneth segue che l'anello di coomologia dello spazio prodotto è un prodotto tensoriale di -algebre:Hatcher (2001), Theorem 3.15.
L'anello di coomologia dello spazio proiettivo reale con coefficienti in è con di grado 1.Hatcher (2001), Theorem 3.19. Qui è la classe di un iperpiano in Questo ha senso anche se non è orientabile per pari e positivo, perché la dualità di Poincaré con coefficienti in vale per varietà arbitrarie.
L'anello di coomologia dello spazio proiettivo reale con coefficienti interi è un po' più complicato. La coomologia intera di ha un elemento di grado 2 tale che l'intera coomologia è la somma diretta di una copia di generata dall'elemento 1 di grado 0 insieme alle copie di generate dagli elementi con La coomologia intera di è la stessa insieme a una copia aggiuntiva di di grado Hatcher (2001), p. 222.
L'anello di coomologia dello spazio proiettivo complesso è con di grado 2. Qui è la classe di un iperpiano in Più in generale, è la classe di un sottospazio lineare in L'anello di coomologia di una superficie orientata chiusa di genere è uno -modulo libero con base data da: l'elemento 1 di grado 0, e di grado 1 e la classe di un punto di grado 2. I prodotti sono dati da: per ogni e se e per ogni Hatcher (2001), Example 3.7. Dall'anticommutatività graduata, segue che