Carriera Kvasnyj è il prodotto di due scuole sportive giovanili di Kiev. Il suo primo allenatore è stato Mykola Lytovčak al .
Dal luglio 2012 al 2014, Kvasnyj ha giocato con le riserve dell' e del . Dal luglio 2014, ha giocato con le riserve del . Nell'estate del 2015, Kvasnyj è stato aggregato alla prima squadra dal Vorskla che milita nella massima serie nazionale. Ha esordito con il Vorskla nella Prem"jer-liha in un incontro con la il 4 ottobre 2015.
Statistiche Presenze e reti nei club Statistiche aggiornate al 3 maggio 2021.
StagioneSquadraCampionatoCoppe nazionali Coppe continentaliAltre coppeTotaleCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiPresReti 2015-2016 PL 3 0 CU 2 0 UEL 0 0 - - 5 0 2016-2017 PL 0 0 CU 0 0 UEL 0 0 - - 0 0 Totale Vorskla 3 0 2 0 0 0 - - 5 0 2017-2018 1L 14 0 CU 0 0 - - - - 14 0 2018-2019 1L 23 0 CU 1 0 - - - - 24 0 2019-gen. 2020 PL 11 0 CU 1 0 - - - - 12 0 gen.-giu. 2020 1L 5 0 CU 1 0 - - - - 6 0 2020-2021 PL 16 0 CU 1 0 - - - - 17 0 Totale Inhulec' 21 0 2 0 - - - - 23 0Totale carriera 72 0 6 0 0 0 - - 78 0
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