In matematica, limmagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.
Talvolta la nozione di immagine è data per il singolo elemento del dominio. In tal caso, l'insieme contenente le immagini di un sottinsieme del dominio viene chiamato, per l'appunto, insieme delle immagini.
Definizione Sia una funzione. Si definisce immagine di tramite , o immagine di , il sottoinsieme di così definito:
ove l'uguaglianza con sussiste se e solo se la funzione è suriettiva.
Si tratta, quindi, di quegli elementi di per i quali esiste un elemento di che venga portato in da .
Notare che nello scrivere si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto è una trasformazione che agisce sugli elementi di , non su stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: e
Più in generale, se è un sottoinsieme del dominio si chiama immagine di tramite l'insieme:
Se , si chiama immagine di tramite l'unico elemento associato ad da .
Proprietà Considerata una funzione , valgono le seguenti proprietà:
Se allora L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli: In generale: L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: e l'uguaglianza vale se la funzione è iniettiva. In generale: L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: e l'uguaglianza vale se e solo se
Metodi di calcolo È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate , compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la in funzione della , trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se
allora la sua inversa si ottiene mediante:
Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la , precisamente e L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è
Note
Bibliografia Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
Voci correlate Controimmagine Funzione iniettiva Funzione suriettiva Studio di funzione Immersione (matematica) Insieme vuoto Nucleo (matematica)
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