In matematica, e in particolare in probabilità, con matrice aleatoria si intende una matrice in cui una parte o tutti i suoi ingressi sono variabili aleatorie estratte in modo casuale da una distribuzione di probabilità. In altre parole, è una variabile aleatoria a valori matriciali. Talvolta è utilizzata anche l’espressione matrice casuale come sinonimo, tuttavia tale dizione è non preferibile in contesti matematici.
La teoria delle matrici aleatorie studia le proprietà delle matrici aleatorie, focalizzandosi sul calcolo e la stima di quantità, come traccia, determinante, norma e spettro, in particolare per il limite di matrici a dimensionalità elevataGiacomo Livan, Marcel Novaes e Pierpaolo Vivo, Introduction to Random Matrices: Theory and Practice, collana SpringerBriefs in Mathematical Physics, vol. 26, Springer, 2018, p. 133, ISBN 978-3-319-70883-6, DOI:10.1007/978-3-319-70885-0.. La teoria si avvale di strumenti come la teoria di campo medio, i metodi diagrammatici e il metodo delle cavità. Getta le sue basi nella seconda metà del XX secolo, grazie ai fondamentali contributi di Wigner, Dyson e Lal Mehta. L'importanza dell'argomento è giustificata dal fatto che numerosi fenomeni fisici e non, come lo spettro dei nuclei di atomi pesanti, la conducibilità termica di un reticolo o l’emergere del caos quantistico, i mercati azionari e lo studio della forma delle proteine possono essere modellati matematicamente come problemi relativi a matrici grandi e aleatorieBertrand Eynard, «L'universalité des matrices aléatoires», Pour la science, nº 487, maggio 2018, pp. 34-44..
Storia Fisica nucleare e nascita delle matrici aleatorie Enrico Fermi e collaboratori furono i primi che, tramite esperimenti, mostrarono che i nucleoni all’interno di un nucleo atomico non possono essere modellati come particelle che si muovono indipendentemente. Dunque questa osservazione indusse Niels Bohr alla formulazione del concetto di nucleo composto, secondo il quale le interazioni tra nucleoni, prima di decadere, danno luogo a stati intermedi. Fu questa teoria, nell’ambito della fisica nucleare, la prima ad utilizzare gli strumenti delle matrici aleatorie, al di fuori della letteratura matematica.
In assenza di una conoscenza dettagliata delle interazioni dirette tra nucleoni, Eugene Wigner propose di modellare l’Hamiltoniana nucleare come una matrice aleatoria. Per atomi con un numero elevato di nucleoni, la distribuzione degli autovalori dell’Hamiltoniana poteva essere utilizzata per stimare le sezioni d’urto dei processi di scattering, facendo ricorso alla distribuzione di Wishart.
Dyson e gli ensemble classici
Negli anni successivi, Freeman Dyson formalizzò ulteriormente il quadro teorico introducendo il concetto di ensemble di matrici aleatorie, in particolare classificando i cosiddetti ensemble classici (gaussiano ortogonale, unitario e simplettico), noti con l’acronimo inglese GOE, GUE e GSE. Tali ensemble descrivono differenti simmetrie fisiche associate all’Hamiltoniana, e si distinguono per il comportamento statistico degli autovalori.
Oltre alla fisica nucleare, la teoria delle matrici aleatorie ha trovato applicazioni in numerosi altri contesti, tra cui la fisica delle particelle, i sistemi disordinati (come la teoria della localizzazione di Anderson), la teoria dei numeri, la finanza quantitativa, e più recentemente, l’apprendimento automatico. Sviluppi recenti In particolare, sviluppi recenti nel campo del deep learning hanno mostrato che modelli di reti neurali profonde possono essere analizzati utilizzando strumenti della teoria delle matrici aleatorie. Le matrici dei pesi nelle reti neurali, soprattutto dopo l’addestramento, presentano spettro e proprietà statistiche che possono essere descritte in termini di distribuzioni di Wigner o Marčenko–Pastur. Tali osservazioni hanno portato alla nascita di una nuova disciplina, talvolta chiamata “Random Matrix Theory for Deep Learning”, che fornisce una cornice teorica per analizzare generalizzazione, dinamiche di apprendimento e stabilità nei modelli neurali complessiPennington, J., & Bahri, Y. (2017). “Geometry of neural network loss surfaces via random matrix theory”. In: Proceedings of the 34th International Conference on Machine Learning (ICML), Vol. 70, pp. 2798–2806. PMLR. Disponibile online: https://proceedings.mlr.press/v70/pennington17a.html.Martin, C. H., & Mahoney, M. W. (2021). “Implicit self-regularization in deep neural networks: Evidence from random matrix theory and implications for learning”. Journal of Machine Learning Research, 22(165): 1–73. Disponibile online: https://www.jmlr.org/papers/v22/20-1250.html..
Trattazione matematica Definizione formale Una matrice aleatoria è una funzione misurabile definita su uno spazio di probabilità, i cui valori sono matrici a coefficienti reali o complessi. Formalmente, data una tripla che rappresenta uno spazio di probabilità, una matrice aleatoria è una funzione
dove oppure , e ogni elemento della matrice è una variabile aleatoria. La distribuzione congiunta degli elementi (oppure degli autovalori) della matrice è specificata da un modello probabilistico, detto ensemble.
Tra i casi più studiati si trovano: le matrici di Wigner, simmetriche o hermitiane, con elementi indipendenti a media nulla; le matrici di Wishart, definite come a partire da matrici gaussiane; l'ensemble di Ginibre, costituito da matrici non hermitiane con entrate gaussiane indipendenti.
In molti casi, l'interesse principale non risiede negli elementi della matrice, ma nel comportamento statistico degli autovalori, ad esempio mediante la misura spettrale empirica
dove sono gli autovalori della matrice . Tale approccio è alla base della moderna teoria delle matrici aleatorie e delle sue applicazioni in fisica teorica, statistica multivariata, teoria dei numeri e apprendimento automatico.
Ensemble classici Nel contesto della teoria delle matrici aleatorie, un ensemble è una famiglia di matrici aleatorie dotata di una distribuzione di probabilità specifica, spesso determinata da proprietà di simmetria. Gli ensemble classici più studiati sono tre, introdotti e classificati da Freeman J. Dyson nel 1962 sulla base delle simmetrie fondamentali dei sistemi fisici e del comportamento sotto trasformazioni ortogonali, unitarie o simplettiche.
I principali ensemble gaussiani sono:
GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble): comprende matrici reali simmetriche, i cui elementi sono distribuiti secondo leggi gaussiane indipendenti, con simmetria . Rilevante per sistemi con simmetria temporale e senza spin. GUE (Gaussian Unitary Ensemble): comprende matrici hermitiane complesse, ovvero , con elementi complessi gaussiani. Rilevante per sistemi senza simmetria temporale, come quelli con campo magnetico esterno. GSE (Gaussian Symplectic Ensemble): comprende matrici hermitiane quaternioniche (o rappresentazioni matriciali ), associate a sistemi con simmetria temporale e spin.
Questi ensemble condividono una densità di probabilità del tipo:
dove (GOE), (GUE), (GSE), e indica la traccia della matrice. è una matrice aleatoria e è la traccia del quadrato della matrice, ovvero la somma dei quadrati dei suoi autovalori. Il parametro codifica invece il tipo di simmetria. Dunque, è una densità: descrive quanto è probabile che la matrice aleatoria assuma certi valori spettrali. Il parametro ha anche interpretazione fisica in termini di temperatura nella meccanica statistica. SiglaDenominazioneTipologiaSistema GOE Ortogonale Reale simmetrica 1 Sistemi con simmetria temporale GUE Unitaria Complessa hermitiana 2 Sistemi senza simmetria temporale GSE Simplettica Quaternionica hermitiana 4 Sistemi con spin e simmetria temporale Matrici di Wishart Un'importante classe di matrici aleatorie non gaussiane è costituita dalle matrici di Wishart. Introdotte da John Wishart nel 1928 in ambito statistico, esse emergono naturalmente nel contesto dell’analisi multivariata, della teoria dell’informazione e della fisica statistica.
Sia una matrice rettangolare di dimensione i cui elementi sono variabili aleatorie gaussiane reali, indipendenti e identicamente distribuite, con media zero e varianza unitaria. La matrice
è detta matrice di Wishart. Si tratta di una matrice simmetrica semi-definita positiva di dimensione , che segue una distribuzione di Wishart. Più in generale, se le righe di sono distribuite secondo una legge normale multivariata , allora segue la distribuzione di Wishart con parametro di scala e gradi di libertà.
Le matrici di Wishart svolgono un ruolo cruciale in numerosi contesti. Per esempio:
In statistica, per stimare matrici di covarianza campionarie. In fisica teorica e reti complesse, per modellare la struttura spettrale di sistemi non hermitiani o con correlazioni.
Un ensemble importante associato a queste matrici è detto ensemble di Wishart–Laguerre, in quanto la densità spettrale degli autovalori segue, nel limite asintotico, la legge di Marchenko–Pastur:
dove e nel limite con costante.
Matrici sparse e non gaussiane Al di fuori del regime classico degli ensemble gaussiani densi, esiste un ampio interesse per le matrici aleatorie sparse e non gaussiane, che modellano sistemi fisici e reti con connettività limitata o distribuzioni di probabilità non standard.
Una matrice aleatoria sparsa è una matrice in cui la maggior parte degli elementi è nulla, e solo una frazione di essi è diversa da zero. Tipicamente, gli indici non nulli sono scelti in modo casuale, e i valori associati seguono una certa distribuzione (gaussiana, di Bernoulli, uniforme, ecc.).
Queste matrici emergono in:
modelli di vetri di spin e transizioni di fase, reti complesse e teoria dei grafi, teoria della localizzazione di Anderson e trasporto quantistico, apprendimento automatico e compressive sensing.
Diversamente dagli ensemble gaussiani, gli autovalori delle matrici sparse possono mostrare localizzazione spettrale, comportamento non universale nei bordi dello spettro e assenza di legge semicircolare nei limiti di densità spettrale. Le distribuzioni degli elementi non devono essere gaussiane: studi recenti hanno esaminato matrici con elementi di tipo sub-gaussiano, di Lévy, o appartenenti a leggi a coda pesante (heavy-tailed).
Questi ensemble richiedono metodi differenti per l’analisi teorica, come il metodo delle cavità, il formalismo di replica e la teoria dei grafi aleatori.
Spettro e densità degli autovalori Una delle principali questioni nello studio delle matrici aleatorie riguarda il comportamento dello spettro, ovvero l'insieme degli autovalori, e in particolare la loro distribuzione in limiti asintotici. Per matrici di grandi dimensioni, si osservano regolarità notevoli e universali nel modo in cui gli autovalori si distribuiscono.
Sia una matrice casuale con autovalori reali . La densità empirica degli autovalori è definita come
Nel limite , la densità converge (in senso debole) a una densità di probabilità deterministica , che dipende dalla classe di ensemble considerato.
Le proprietà dello spettro includono:
la forma globale della densità degli autovalori (es. legge semicircolare, legge di Marčenko–Pastur), il comportamento degli autovalori estremi (es. distribuzione di Tracy–Widom), la localizzazione o delocalizzazione degli autovettori associati.
Questi risultati sono fondamentali sia in matematica pura sia in applicazioni a fisica, statistica, finanza e machine learning.
Legge di Wigner
Nel contesto degli ensemble gaussiani simmetrici (come il GOE), la distribuzione limite degli autovalori è descritta dalla legge semicircolare di Wigner.
Sia una matrice simmetrica di dimensione i cui elementi sono variabili aleatorie indipendenti (fatta eccezione per la simmetria), con media nulla e varianza . Allora, nel limite , la densità degli autovalori converge a