In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione
tale che, per ogni in e per ogni in
per ogni implica In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica.
Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia la matrice di dimensione , con ,che rappresenta la forma bilineare in un qualche base, ovvero
Allora, dal momento che la forma è antisimmetrica anche lo sarà e dunque
dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che è invertibile vale , e quindi dalla precedente espressione si evince che , e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.
Base simplettica canonica Dato uno spazio vettoriale simplettico di dimensione la base
tale che
per ogni è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene
dove è la matrice a blocchi data da
detta matrice unità simplettica.
Proprietà della matrice unità simplettica La matrice soddisfa alcune proprietà, quali
Esistenza Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.
Sottospazi Dato uno spazio vettoriale simplettico ed un suo sottospazio vettoriale , possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di come
Allora il sottospazio si dice
Isotropo se Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se Coisotropo se
Se , allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra e , quella degli spazi coisotropi tra e e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente .
La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani
Esempio Dato lo spazio vettoriale dotato della forma simplettica standard, il sottospazio è lagrangiano.
Simplettomorfismi Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici e è un isomorfismo lineare tale che .
In altre parole, questo significa che se vale
per ogni coppia di vettori , allora è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.
Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico di dimensione , questo è simplettomorfo a , dove è la forma simplettica standard.
Bibliografia Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X. Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
Voci correlate Matrice simplettica Gruppo simplettico Matrice anti-hamiltoniana
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra multilineare Categoria:Geometria simplettica