Il Noisy-or (or rumoroso) è un modello di probabilità condizionata utile a caratterizzare relazioni incerte mediante relazioni logiche rumorose. Esso può essere descritto dal grafo di una rete bayesiana con variabili booleane. Nel modello (cfr. schema) la variabile di un nodo-figlio è vera se è attivata (ossia vera) almeno una variabile dei nodi genitori e ognuna delle quali ha una sua probabilità di attivazione. Quindi l'avverarsi della variabile del nodo-figlio dipende da una sorta di disgiunzione, l'or delle attivazioni delle variabili dei nodi-genitori. Rispetto a una proposizione puramente logica, si ammette l'incertezza sulla capacità di ciascuna variabile-genitore di causare l'avverarsi della figlia, per cui la relazione causale fra genitori e figlia potrebbe essere inibita.

A titolo di esempio, nella classificazione di documenti gli argomenti trattati possono avere parole specifiche ad essi associate in senso probabilistico; una parola viene utilizzata in un documento quando un argomento in esso trattato ne richieda la presenza. In ambito medico, un paziente ha un sintomo (ad es. febbre) se affetto da un problema di salute che lo causa (raffreddore, influenza, malaria) e ognuna di tali cause può essere intesa in senso probabilistico.

Definizione Sia Y una variabile booleana che dipende da una serie di cause date dall'avverarsi di variabili booleane X1,…,Xk (genitrici di Y in una rete bayesiana). Per semplicità, xi indica Xi = v, ossia vera e ¬xi indica Xi = f, falsa.

Si assume che:

le cause siano esaustive; l'inibizione di ogni genitrice Xi sia indipendente dall'inibizione di qualsiasi altra causa.

Sia qi la probabilità che Y si avveri quando è vera solo la causa Xi:

Quindi Y è falsa se e solo se tutte le sue cause X1,…,Xk sono inibite e la probabilità che questo accada è il prodotto delle probabilità qi di inibizione di ogni Xi:

Definizioni alternative di distribuzioni condizionate

In una rete bayesiana, una distribuzione condizionata P⁢(Y ∣ X1, X2, …, Xk) può essere definita introducendo nel modello k+1 variabili booleane A0,A1,…,Ak, dove Ai ha Xi come suo unico genitore, per ogni i, 1≤ i ≤ k.

Il modello del noisy-or può essere definito da k+1parametri w0,…,wk. Risulta che P(Ai = v|Xi = v) = wi e P(Ai = v|Xi = f) = 0. Per A0 si ha che P(A0 = v) = w0. Le variabili A0, A1 ,…, Ak sono i genitori di Y. La probabilità condizionata P(Y | A0, A1, …, Ak), è pari a 1 se almeno una delle Ai è vera e 0 se sono tutte false. Perciò, w0 rappresenta la probabilità del caso in cui tutti le Xi siano false; la probabilità di Y cresce con l'aumentare del numero delle Xi vere.

Y può essere definita in termini di un sistema deterministico con input rumorosi:

dove le ri sono variabili di rumore indipendenti, con P⁢(ri) = wi.

Esempio Si supponga che un robot possa cadere per via della pioggia che rende le superfici scivolose o per via d'un ostacolo incontrato. Si può pensare che vi sia una certa probabilità associata alle due cause per tale evento; inoltre c'è anche probabilità che possa cadere per altre cause. Quindi il robot potrà cadere per una di queste ragioni, le quali possono essere considerate fra loro in una disgiunzione. Ad esempio potrebbe darsi che P(caduta | pioggia, ¬ostacolo, ¬altro) = 0.5, P(caduta | ostacolo, ¬pioggia, ¬altro) = 0.2 e P(caduta | altro, ¬pioggia, ¬ostacolo) = 0.3 come termine noto. Le probabilità complementari costituiscono le probabilità dell'inibizione per le rispettive singole cause. Da queste si possono ottenere le probabilità di inibizione di cause congiunte e quindi l'intera CPT: P(caduta|pioggia,ostacolo,altro)PioggiaOstacoloAltroP(caduta|·)P(¬caduta|·)fff01ffv0.30.7fvf0.20.8fvv0.440.7·0.8 = 0.56vff0.50.5vfv0.650.7·0.5 = 0.35vvf0.60.8·0.5 = 0.4vvv0.720.7·0.8·0.5 = 0.28

Relazioni logiche rumorose In generale, una relazione logica rumorosa nella quale una variabile dipenda da k variabili (nei nodi genitori) può essere descritta tramite O(k) anziché O(2k) parametri per la CPT completa. Ciò facilita molto sia la valutazione sia l'apprendimento dei modelli corrispondenti.

Note

Categoria:Distribuzioni di probabilità Categoria:Intelligenza artificiale Categoria:Logica matematica Categoria:Ragionamento probabilistico