In matematica, la maggiorizzazione è un preordine sui vettori di numeri reali. Per due vettori di questo tipo, , si dice che maggiorizza debolmente (o domina) dal basso, comunemente indicato con , quando: per tutti i , dove: denota li-esimo più grande elemento di .
Se poi soddisfa , si dice che maggiorizza (o domina) , fatto comunemente indicato con .
Sia la majorizzazione debole che la majorizzazione sono ordinamenti parziali per vettori i cui elementi sono non decrescenti, ma solo un preordinamento per vettori generici, poiché la maggiorizzazione è indipendente dall'ordinamento degli elementi nei vettori: ad esempio, l'affermazione è semplicemente equivalente a .
Più nello specifico, valle che se e solo se sono uno permutazione dell'altro. Lo stesso vale per .
Il termine “maggiorizzazione” a volte si riferisce anche all'ordinamento per elementi, ad esempio la funzione a valori reali ‘f’ maggiorizza la funzione a valori reali “g” quando per tutti gli nel dominio, o altre definizioni tecniche, come le misure di maggiorizzazione nella teoria della probabilità.
Condizioni di equivalenza Definizioni geometriche
Per si ha se e solo se è l'involucro convesso di tutti i vettori ottenuti permutando le coordinate di . Ciò equivale ad affermare che per qualche matrice bistocastica .Barry C. Arnold. "Majorization and the Lorenz Order: A Brief Introduction". Springer-Verlag Lecture Notes in Statistics, vol. 43, 1987 (2.1). In particolare, può essere scritta come una combinazione convessa di permutazioni di . In altre parole, è nel permutaedro di .
La Figura 1 mostra in 2D l'involucro convesso del vettore . Si noti che il centro dell'involucro convesso, che in questo caso è un intervallo, è il vettore . Esso è "il più piccolo" vettore che soddisfa per il vettore dato .
La Figura 2 mostra l'involucro convesso in 3D. Il centro dell'involucro convesso, che in questo caso è un poligono 2D, è il "più piccolo vettore" che soddisfa per il vettore dato .
Altre definizioni Ciascuna delle seguenti affermazioni è vera se e solo se : da si può ottenere mediante una sequenza finita di operazioni in cui due elementi e sono rispettivamente sostituiti con e per qualche .Arnold (1987), 11 per ogni funzione convessa , .Arnol (1987), 2.9 in realtà, è sufficiente un caso particolare: è, per ogni , .3 luglio 2005 post dell'utente fleeting_guest nel thread "The Karamata Inequality", forum Art of Problem Solving (AoPS).Archiviato l'11 novembre 2020. per ogni , . (Esercizio 12.17)
può essere disegnata come una curva concava, connettendo . Quindi, è equivalente alla curva di , essendo maggiore di quella di .
Esempi Tra i vettori non negativi con tre componenti, e le sue permutazioni maggiorizzano tutti gli altri vettori tali che . Ad esempio, . Allo stesso modo, è maggiorizzato da tutti gli altri vettori simili, quindi .
Questo comportamento si estende ai vettori di probabilità di lunghezza generale: il vettore singleton maggiorizza tutti gli altri vettori di probabilità e la distribuzione uniforme è maggiorizzata da tutti i vettori di probabilità.
Convessità di Schur Una funzione è detta convessa di Schur quando implica . Pertanto, le funzioni convesse di Schur traducono l'ordinamento dei vettori in un ordinamento standard in . Analogamente, è una funzione concava di Schur quando implica
Un esempio di funzione convessa di Schur è la funzione max, . Le funzioni convesse di Schur sono necessariamente simmetriche, nel senso che gli elementi del loro argomento possono essere scambiati senza modificare il valore della funzione. Pertanto, le funzioni lineari, che pure sono convesse, non sono convesse secondo Schur a meno che non siano simmetriche. Se una funzione è simmetrica e convessa, allora è convessa secondo Schur.
Generalizzazioni La maggiorizzazione può essere generalizzata alla ordinamento di Lorenz, un ordine parziale sulle funzioni di distribuzione. Ad esempio, una distribuzione della ricchezza è maggiore secondo Lorenz rispetto a un'altra se la sua curva di Lorenz si trova al di sotto dell'altra. Pertanto, una distribuzione della ricchezza maggiore secondo Lorenz ha un coefficiente di Gini più elevato e presenta una maggiore disparità di reddito.
Il preordine di maggiorizzazione può essere naturalmente esteso alle matrici di densità nel contesto dell'informatica quantistica. In particolare, precisamente quando (dove indica lo stato dello spettro di una matrice).
Analogamente, si può dire che l'operatore hermitiano maggiorizza un altro se l'insieme degli autovalori di maggiorizza quello di .
Note
Bibliografia J. Karamata. "Sur une inegalite relative aux fonctions convexes." Publ. Math. Univ. Belgrade 1, 145–158, 1932. G. H. Hardy, J. E. Littlewood and G. Pólya, Inequalities, 2nd edition, 1952, Cambridge University Press, London. Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications Albert W. Marshall, Ingram Olkin, Barry Arnold, Second edition. Springer Series in Statistics. Springer, New York, 2011. A tribute to Marshall and Olkin's book "Inequalities: Theory of Majorization and its Applications" Matrix Analysis (1996) Rajendra Bhatia, Springer, Topics in Matrix Analysis (1994) Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Cambridge University Press, Majorization and Matrix Monotone Functions in Wireless Communications (2007) Eduard Jorswieck and Holger Boche, Now Publishers, The Cauchy Schwarz Master Class (2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press,
Voci correlate Disuguaglianza di raggruppamento Teorema di Schur-Horn
Collegamenti esterni Maggiorizzazione, MathWorld Maggiorizzazione, PlanetMath Software OCTAVE/MATLAB code to check majorization
Categoria:Teoria degli ordini Categoria:Algebra lineare