In teoria dei numeri, il teorema di Sophie Germain è un enunciato riguardante la divisibilità delle soluzioni dell'equazione dell'ultimo teorema di Fermat per un esponente primo dispari .
Enunciato formale Nello specifico, Sophie Germain dimostrò che almeno uno dei numeri , , deve essere divisibile per se è possibile trovare un numero primo ausiliario tale che siano soddisfatte due condizioni: Non esistono due potenze -esime non nulle che differiscano di uno modulo ; non è esso stesso una potenza -esima modulo .
Di conseguenza, il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat (ovvero il caso in cui non divide il prodotto ) deve valere per ogni numero primo per il quale sia possibile trovare anche un solo primo ausiliario soddisfacente.
Storia Germain identificò tale primo ausiliario per ogni numero primo inferiore a 100. Il teorema e la sua applicazione ai numeri primi minori di 100 furono attribuiti alla Germain da Adrien-Marie Legendre nel 1823. Didot, Parigi, 1827. Apparso anche come Second Supplément (1825) a Essai sur la théorie des nombres, 2ª ed., Parigi, 1808; ristampato in Sphinx-Oedipe 4 (1909), 97–128.
Importanza del teorema Il lavoro di Sophie Germain rappresentò un cambiamento fondamentale nell'approccio all'ultimo teorema di Fermat. Prima di lei, le dimostrazioni si concentravano su singoli esponenti (come o ). Germain propose invece un metodo per affrontare intere classi di numeri primi.
Sebbene la sua speranza di utilizzare una sorta di "discesa infinita" (o risalita infinita) per dimostrare il teorema in senso generale non si sia concretizzata nella forma originaria, i suoi criteri hanno permesso di escludere il "primo caso" dell'equazione di Fermat per una vasta gamma di esponenti, inclusi tutti i numeri primi di Sophie Germain (quei primi per cui è anch'esso primo).
Note
Bibliografia Laubenbacher R, Pengelley D (2007) "Voici ce que j'ai trouvé": Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem
Voci correlate Ultimo teorema di Fermat Numero primo di Sophie Germain Sophie Germain
Categoria:Teoremi di teoria dei numeri