Il problema della capra è un problema di matematica ricreativa noto fin dal XVIII secolo. Fu pubblicato per la prima volta nel 1748 in The Ladies Diary: or, the Woman's Almanack, una pubblicazione annuale inglese.

Enunciato del problema

Nel problema della capra, si richiede quale sia la lunghezza della corda a cui è legata una capra in modo che l’area della prato circolare in cui l'animale possa brucare l’erba sia esattamente la metà dell’area racchiusa dalla staccionata circolare.

Soluzione geometrica L'area raggiungibile dalla capra ha la forma di una lente asimmetrica delimitata da due archi circolari.

Per determinare l'area delimitata dai due archi circolari, è possibile dividerla in due segmenti circolari, tramite il segmento che interseca la lente nei due punti di intersezione ed . Si indichi con il raggio del cerchio che rappresenta il prato, e con quello del cerchio il cui centro giace sul bordo del cerchio dell'altro, e con la distanza tra i due centri.

Sono dati è

Secondo il teorema di Pitagora:

sostituendo il termine dell'equazione nell'equazione si ottiene

Moltiplicando e riorganizzando i risultati si ottiene

da qui risulta

espandendo la relazione , con l'equazione si trasforma in

essendo risulta quindi

Utilizzando due volte la formula per l'area del segmento circolare con come la distanza dal centro rispettivamente del cerchio o fino alla corda si ottiene

Sostituendo i termini da e da si ottiene la formula per l'area della lente asimmetrica:

Imponendo e assumendo che l'area sia proprio pari alla metà delll'area del cerchio, l'equazione si semplifica in

Questa equazione può essere risolta solo numericamente e dà come soluzione

Soluzione tramite integrazione Tramite integrazione sulla metà destra della superficie della lente si ottiene

Si ottiene l'equazione trascendente

che, risolta numericamente, porta allo stesso risultato .

Estensioni La capra nello spazio

Nel caso tridimensionale, il punto si trova sulla superficie di una sfera unitaria, ed il problema consiste nel determinare il raggio in modo che la seconda sfera intersechi la prima con un volume pari esattamente alla metà del volume della sfera unitaria.

La parte della sfera unitaria raggiungibile dall'animale ha la forma di una lente tridimensionale con lati diversamente incurvati, delimitata dalle due calotte sferiche.

Il volume di una lente con due sfere di raggi e distanza tra i centri è:

nel caso e imponendo la condizione che il volume raggiungibile sia pari alla metà del volume della sfera si ottiene

che si traduce nella soluzione

La capra legata al silo

Nel caso bidimensionale, ci si può chiedere anche quale sia la dimensione dell'area raggiungibile al di fuori del cerchio rosso (corrispondente alla situazione in cui l'animale sia legato a un silo).

In questo caso l'area raggiungibile è costituita da un semicerchio (azzurro chiaro) di raggio e due aree delimitate dal cerchio rosso e dall'evolvente di cerchio (blu scuro). L'area totale raggiungibile (blu chiaro e blu scuro) è pari a

a condizione che (altrimenti le due aree blu scuro si sovrapporranno sul retro del silo).

Note

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