In elettromagnetismo, le equazioni di Panofsky-Phillips, così chiamate in onore di Wolfgang Panofsky e Melba Phillips, forniscono l’espressione del campo elettrico E e del campo magnetico B generati da una distribuzione arbitraria di cariche e correnti elettriche nello spazio. Si tratta di una generalizzazione dipendente dal tempo della legge di Coulomb per il campo elettrico e della legge di Biot-Savart per il campo magnetico. Queste equazioni costituiscono la soluzione generale delle equazioni di Maxwell per qualsiasi distribuzione arbitraria di cariche e correnti e tengono conto, in particolare, del ritardo dovuto alla propagazione a velocità finita dei campi E e B nello spazio (che si propagano alla velocità della luce nel vuoto, indicata con c).

Queste equazioni apparvero per la prima volta nel 1962 nella seconda edizione del libro Classical Electricity and MagnetismWolfgang K. H. Panofsky, Melba Phillips, Classical Electricity And Magnetism, Addison-Wesley (2nd ed., 1962), Section 14.3 : The radiation fields, ed è importante notare che sono equivalenti alle equazioni di Jefimenko (pubblicate nel 1966), sebbene le loro espressioni formali per il campo E siano diverseKirk T. McDonald, The Relation Between Expressions for Time-Dependent Electromagnetic Fields Given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, Princeton University (1996; updated 2018).

Le equazioni

Si indicano con ρ la densità volumica di carica elettrica in ogni punto di un volume V dello spazio e con J la densità volumica di corrente elettrica.

Se si studiano i campi E e B generati in un punto M da una distribuzione arbitraria di cariche e correnti contenute nel volume V, indicando con r la distanza tra ogni punto sorgente e M, e con n il vettore unitario che punta da ciascun punto sorgente verso M, le equazioni di Panofsky-Phillips danno (nel punto M) :

con : , e .

In queste equazioni :

è la permittività del vuoto ( = 8,854 187 82 10-12 F/m) c è la velocità della luce nel vuoto (c = 299 792 458 m/s) è la derivata temporale del vettore densità di corrente in un punto

Analisi

Quattro conclusioni principali possono essere tratte da queste equazioniThe Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 28 : Electromagnetic radiation :

Propagazione e ritardo Se si osservano le diverse sorgenti del campo elettromagnetico che compaiono nelle equazioni di Panofsky-Phillips (ρ, e ), si nota che esse sono sistematicamente scritte tra parentesi quadre [ ], il che implica che si deve sempre considerare il loro stato a un istante passato (detto istante ritardato) t' = (t - r/c), e non all’istante presente t.

Ciò riflette il fatto che i campi elettrico e magnetico si propagano alla velocità finita c, cioè 299 792 458 m/s. Esiste quindi sempre un certo ritardo tra una variazione delle sorgenti e gli effetti che queste possono produrre in un altro punto dello spazio. Questo ritardo è uguale al tempo di propagazione dei campi tra la sorgente e l’osservatore, r/c.

Interpretazione fisica di ciascun termine Tre termini compaiono nell’espressione del campo elettrico E : il primo termine è legato alla posizione ritardata delle cariche sorgenti (si riconosce la legge di Coulomb valutata all’istante ritardato t) ; il secondo termine è legato alla velocità ritardata delle cariche sorgenti. Esso fornisce una correzione al campo coulombiano ritardato (primo termine), compensando gli effetti di ritardo quando le correnti sono costanti nel tempo ( = 0). Una delle proprietà notevoli di questo termine è che si annulla quando si ha contemporaneamente div(J) = 0 e = 0 (cioè in regime stazionario) ; il terzo termine è dovuto all’accelerazione (all’istante ritardato) delle cariche sorgenti (si può parlare di “campo di accelerazione”).

Analogamente, per il campo magnetico B, si riconosce un primo termine legato alla velocità delle cariche sorgenti (legge di Biot-Savart ritardata) e un secondo termine dovuto alla loro accelerazione.

Distinzione tra campo vicino e campo irradiato

Si possono suddividere i diversi termini di questi campi in due categorie: alcuni presentano una dipendenza in 1/r², inversamente proporzionale al quadrato della distanza (si possono quindi qualificare come “campi vicini”, poiché sono significativi solo in prossimità delle sorgenti), mentre altri presentano una dipendenza in 1/r (si tratta dei campi di accelerazione, detti anche “campi irradiati”, che diventano sempre più predominanti all’aumentare della distanza, a causa della loro diminuzione più lenta).

In verde, i campi vicini (dipendenza in 1/r²). In rosso, i campi irradiati (dipendenza in 1/r).

Si noti che i campi associati alla posizione e alla velocità delle cariche sorgenti presentano una dipendenza in 1/r², mentre quelli associati all’accelerazione presentano una dipendenza in 1/r.

Nella regione di campo lontano (cioè quando r >> λ), i termini in 1/r² possono essere considerati trascurabili rispetto ai termini in 1/r, il che permette delle semplificazioni nel calcolo del campo elettromagnetico (vedi campo vicino e campo lontano). In questo caso, le espressioni dei campi emessi si riducono a :

dove vengono mantenuti soltanto i campi irradiati.

Nella regione di campo vicino (r << λ), i campi possono essere calcolati utilizzando l’approssimazione dei regimi quasi stazionari. È in questa regione che compaiono fenomeni come l’induzione elettromagnetica e la forza di Abraham-Lorentz.

Proprietà dei campi irradiati

I termini “irradiati”, che costituiscono la radiazione elettromagnetica, sono sempre generati da variazioni temporali di corrente, cioè da cariche accelerate. Una carica elettrica che non accelera non produce alcun campo E o B con dipendenza in 1/r.

Inoltre, l’emissione è direzionale (o anisotropa): l’ampiezza dei campi emessi dipende dalla direzione di osservazione (è nulla lungo l’asse di accelerazione e massima nel piano perpendicolare). Questa proprietà può essere illustrata osservando i campi emessi da un dipolo oscillante :

(Un tale dipolo oscillante non è in grado di emettere o rilevare radiazione lungo il proprio asse, mentre l’efficienza è massima nel piano equatoriale.)

Si osserva inoltre che questi termini sono ortogonali a n, il che implica che sono sempre trasversali rispetto alla direzione di propagazione dei campi elettromagnetici irradiati, come mostrato di seguito :

Le equazioni di Panofsky-Phillips mostrano inoltre che il campo magnetico irradiato è legato al campo elettrico irradiato dalla relazione :

Di conseguenza, nella regione di campo lontano (r >> λ), il campo magnetico è legato al campo elettrico da :

Si ha quindi .

Queste proprietà permettono, ad esempio, di spiegare l’origine della pressione di radiazione.

La frequenza di oscillazione della sorgente determina a quale regione dello spettro elettromagnetico appartiene la radiazione emessa :

Collegamento con i potenziali ritardati

Lo studio delle equazioni di Maxwell, in particolare quelle di Maxwell-Thomson e Maxwell-Faraday, mostraThe Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Section 18.6 : Solving Maxwell’s equations; the potentials and the wave equationDavid J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (4th ed., 2013), Section 10.1 : The Potential Formulation (utilizzando il teorema di Helmholtz-Hodge) che i campi E e B possono essere calcolati a partire da potenziali V e A tali che :

Scegliendo la gauge di Lorenz, si ottiene come espressione per questi potenziali ritardati:

dove V è il potenziale scalare e A il potenziale vettore del campo magnetico.

Per calcolare i campi emessi da una carica puntiforme q, si utilizzano i potenziali di Liénard-Wiechert.

Espressione dei campi vicini e dei campi irradiati a partire dai potenziali

Si può decomporre il potenziale vettore del campo magnetico A in una componente radiale An (lungo n) e una componente trasversale A :

Se si indicano con Evic e Bvic le parti dei campi che decrescono come 1/r², esse sono legate ai potenziali ritardati da :

Se si indicano con Eirr e Birr le parti che decrescono come 1/r, allora :

La componente radiale di A è quindi associata al campo vicino, mentre la componente trasversale è associata al campo irradiato.

Confronto con le equazioni di Jefimenko

Confrontando le equazioni di Panofsky-Phillips con quelle di Jefimenko, si osserva che le loro espressioni sono identiche per il campo magnetico B, ma differiscono per il campo elettrico E, pur essendo matematicamente equivalenti.

Inoltre, l’equazione di Panofsky-Phillips per E presenta un maggiore interesse pedagogico, poiché mette in evidenza la separazione tra campi vicini e campi irradiati e consente di identificare direttamente le proprietà generali dei campi irradiati, cosa che non è altrettanto evidente nella formulazione di Jefimenko.

D’altra parte, l’equazione di Jefimenko, grazie alla sua forma più compatta, è generalmente più facile da utilizzare per calcoli espliciti, ad eccezione di casi particolari come la radiazione dipolare elettricaR. de Melo e Souza, MV Cougo-Pinto, C. Farina, M. Moriconi, Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field, arXiv:0812.4679, 2008..

Le equazioni di Panofsky-Phillips e di Jefimenko presentano quindi interessi complementari.

Complemento

Le equazioni di Panofsky-Phillips permettono di determinare l’espressione del campo elettrico E e del campo magnetico B in ogni punto dello spazio.

Una volta noti questi campi, si può dedurre la forza che agisce su una particella di carica q e velocità v''' situata nel punto M'', calcolando la forza di Lorentz:

Note

Voci correlate Campo elettrico Campo magnetico Legge di Coulomb Legge di Biot-Savart Equazioni di Maxwell Teorema di Helmholtz Potenziali ritardati Equazioni di Jefimenko Radiazione elettromagnetica Campo vicino e campo lontano

Categoria:Elettrodinamica