La teoria dell'analisi limite, o semplicemente analisi limite è una teoria formulata da H.J. Greenberg e W. Prager nel 1951, nel campo della meccanica strutturale e della geotecnica per il calcolo del carico limite al collasso di una struttura o di un terreno. La teoria si fonda sui teoremi del limite inferiore e del limite superiore, noti anche come metodo statico e metodo cinematico rispettivamente, che permettono di individuare un range entro il quale ricade il carico di collasso. Quando le due soluzioni coincidono, il carico limite è determinato in modo esatto; quando invece non coincidono, esse forniscono una stima dell'intervallo di errore associato alla soluzione. Così come i metodi dell'equilibrio limite - tra cui rientrano formulazioni classiche per la spinta delle terre come quella di Rankine o di Coulomb - l'analisi limite consente di individuare direttamente il carico di collasso senza dover ricorrere a un'analisi incrementale elastoplastica.
Richiami di meccanica del continuo I metodi dell'analisi limite si basano sulle equazioni governanti la meccanica dei solidi:
le equazioni di equilibrio il legame costitutivo tra tensioni e deformazioni le equazioni di compatibilità che mettono in relazione deformazioni con spostamenti.
In generale, un numero infinito di stati tensionali può soddisfare le equazioni di equilibrio, le condizioni al contorno sulle tensioni e il criterio di resistenza. L'insieme degli stati tensionali che rispettano queste condizioni definisce una famiglia di stati di sforzo staticamente ammissibili. Allo stesso modo, un numero infinito di campi di spostamento può risultare compatibile con un campo di deformazione continuo e con le condizioni al contorno sugli spostamenti. Questi campi di spostamento vengono detti cinematicamente ammissibili.
Nella teoria dell'elasticità lineare, il legame costitutivo rappresenta la relazione biunivoca tra sforzi e deformazioni. Nel caso di un materiale elasto-plastico, la risposta meccanica non dipende più soltanto dallo stato deformativo istantaneo ma anche dalla storia di carico e dell'evoluzione dello stato plastico del materiale. Per questo motivo, il comportamento elastoplastico non può essere descritto mediante una relazione biunivoca tra tensioni e deformazioni. Tale caratteristica è generalmente associata all'anolonomia del comportamento costitutivo, poiché lo stato tensionale dipende dal percorso seguito durante il processo di carico. Per un terreno, ad esempio, il comportamento meccanico è non lineare, irreversibile e anolonomo.
L'anolonomia, l'irreversibilità e la non linearità del comportamento meccanico di questi materiali, comportano inevitabilmente la conoscenza della storia di carico subita dal materiale per poter valutare la deformazione o lo spostamento risultante. Per poter quindi analizzare la risposta deformativa di un materiale elastoplastico, è necessario ricorrere a una legge costitutiva di tipo incrementale ossia una legge che segua passo dopo passo la storia evolutiva di carico del materiale.
Un'analisi incrementale completa, può però essere troppo onerosa dal punto di vista computazionale, poiché non è sufficiente conoscere lo stato finale di tensione o deformazione ma è necessario conoscere attraverso quale percorso il materiale è arrivato allo stato finale. L'evoluzione della risposta del materiale deve essere valutata passo dopo passo.
In questo ampio contesto, l'analisi limite nasce come un'alternativa concreta all'analisi incrementale poiché permette di valutare il carico ultimo del materiale che porta al collasso, senza concentrarsi sulla ricostruzione della storia elastoplastica
Formulazione teorica
Si consideri una struttura o una massa di terreno soggetto a carichi proporzionali a un moltiplicatore dei carichi λ, tale per cui . L'idea di base dell'analisi limite consiste nel determinare il valore del moltiplicatore dei carichi che conduce una struttura o una massa di terreno alla condizione di collasso incipiente. Il problema è quindi determinare il valore critico in corrispondenza del quale il sistema raggiunge la condizione di incipiente collasso.
Ipotesi dei teoremi dell'analisi limite Nella sua formulazione classica, l'analisi limite si basa su alcune ipotesi fondamentali:
il materiale è assunto rigido-perfettamente plastico, ossia vengono trascurate le deformazioni elastiche ; la legge di flusso plastico è associata, ossia il potenziale plastico coincide con la funzione di snervamento ; la funzione di plasticità è convessa ; le deformazioni sono sufficientemente piccole da permettere di scrivere le equazioni di equilibrio nella configurazione indeformata.
Teorema statico Sotto le ipotesi precedentemente elencate, il teorema statico dell'analisi limite stabilisce che, se esiste un campo di tensioni staticamente ammissibile cioè un campo che soddisfa le equazioni di equilibrio in forma forte (ossia in ogni punto del dominio), le condizioni al contorno statiche e il criterio di resistenza del materiale, allora il carico associato a questa distribuzione di sforzi sarà sicuramente minore o uguale al carico limite di collasso. In altre parole, il carico così determinato rappresenta un estremo inferiore della soluzione.
In formule: dove rappresenta il moltiplicatore dei carichi ottenuto mediante il metodo statico.
In sintesi, al fine di individuare un estremo inferiore della soluzione, il metodo statico prevede di: imporre le equazioni di equilibrio in forma forte e le condizioni al contorno statiche. imporre il legame costitutivo a rottura.
Teorema cinematico Il teorema cinematico afferma che, sotto le stesse ipotesi, ogni meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile fornisce un valore del carico limite maggiore o uguale al carico reale di collasso. Un meccanismo è cinematicamente ammissibile quando il campo di velocità o di spostamento virtuale è compatibile con i vincoli cinematici del problema e con le condizioni di deformazione plastica imposte dalla legge di flusso. Il valore del carico associato al meccanismo si ottiene imponendo l'equilibrio tensionale in forma debole (ossia integrale).
In formule: dove indica il moltiplicatore dei carichi ottenuto mediante il metodo cinematico.
In sintesi, al fine di trovare un estremo superiore della soluzione, il metodo cinematico prevede di: imporre l'equilibrio in forma debole ossia 'uguaglianza tra la potenza dei carichi esterni e la dissipazione plastica interna; imporre il legame costitutivo a rottura; individuare un meccanismo di rottura cinematicamente ammissibile.
Condizione di collasso Alla luce dei teoremi dell'analisi limite, il moltiplicatore dei carichi critico che realmente porta il sistema al collasso è compresa tra un estremo inferiore, ottenuto mediante il metodo statico, e un estremo superiore, ottenuto mediante il metodo cinematico:
Al fine di individuare la soluzione esatta è quindi necessario massimizzare all'interno della famiglia di campi tensionali staticamente ammissibili e, viceversa, minimizzare all'interno della famiglia dei meccanismi cinematicamente ammissibili. In questo modo, quando i due valori coincidono, il carico limite è determinato esattamente:
Esempi di applicazione Al fine di illustrare l'applicazione dei teoremi dell'analisi limite in ambito ingegneristico, si considera il caso della stabilità di uno scavo verticale non sostenuto.
Il problema dello scavo (geotecnica)
Un esempio di applicazione dei teoremi dell'analisi limite in ambito geotecnico è rappresentato dal problema della stabilità di uno scavo. Considerando un terreno argilloso completamente saturo (), caratterizzato da un peso specifico saturo , si vuole determinare l'altezza massima (o critica) di scavo realizzabile prima del raggiungimeno della condizione di collasso del sistema. Nel breve termine, assumendo condizioni non drenate, il comportamento del terreno può essere analizzato mediante un approccio agli sforzi totali. In tale schematizzazione, il terreno è descritto mediante la resistenza non drenata e un criterio di resistenza di Tresca .
Metodo cinematico
Il primo passo del metodo cinematico consiste nel definire una famiglia di meccanismi a rottura cinematicamente ammissibili. In condizioni di incipiente collasso è possibile definire un campo di velocità congruente. Vi sono infiniti campi di velocità che soddisfano la congruenza ossia la non compenetrazione e/o lacerazione del materiale. Per semplicità si sceglie di definire un campo di velocità congruente costituito da due sottodomini.
Il sottodominio rappresenta il cuneo a rottura caratterizzato da un vettore di velocità Il sottodominio rappresenta il terreno. a monte dello scavo, che sta fuori dal cuneo di rottura e quindi caratterizzato da All'interno dei due sottodomini la congruenza è soddisfatta. Non è possibile avere compenetrazioni e/o lacerazioni internamente ai due sottodomini perché in tutti i punti si muovono con lo stesso vettore di velocità, definendo un atto di moto traslatorio, mentre in tutti i punti interni sono fermi. Resta quindi da verificare la congruenza solamente lungo la frontiera tra i due domini. Il vettore di velocità deve essere quindi diretto in modo tale da evitare che il cuneo a rottura compenetri o si distacchi dal blocco a valle. L'unica possibilità per avere uno scivolamento congruente è avere orientato parallelamente alla superficie di rottura.
Il secondo passo del metodo cinematico consiste nell'imporre l'equilibrio in forma debole, ossia integralmente, nell'intero dominio. Per fare ciò si ricorre all'equilibrio delle potenze associate alle forze attive nel sistema. L'unica forza in grado di fornire una potenza nel sistema è il peso del cuneo a rottura , dato che ha una velocità associata nulla. L'equilibrio tra potenze interne ed esterne ad incipiente collasso si scrive quindi come:
dove è la resistenza ultima del materiale, in corrispondenza della superficie di rottura, come indicato dal legame costitutivo alla Tresca.
rappresenta l'inclinazione della superficie di rottura, mentre la lunghezza.
Calcolando il peso del cuneo come: ,
l'altezza critica di scavo che si ottiene dall'equilibrio è:
L'ultimo passo del metodo cinematico consiste nel minimizzare le azioni che portano a rottura il materiale poiché, secondo il teorema, il carico ultimo così trovato è un estremo superiore della soluzione. Conseguentemente, ridurre l'azione ossia il peso proprio che porta a rottura il terreno significa ridurre l'altezza del blocco di terreno. Per ridurre è quindi necessario massimizzare il denominatore. Il denominatore è massimo quando .
In conclusione l'estremo superiore della soluzione fornito dal metodo cinematico dell'analisi limite è:
Metodo statico L'analisi limite prevede a questo punto, l'utilizzo del metodo statico per trovare un estremo inferiore della soluzione. Il primo passo del metodo prevede di definire un campo di sforzi equilibrato su tutto il dominio di studio ossia all'interno dello scavo e nel terreno a monte. Per comodità è possibile suddividere l'intero dominio in tre sottodomini. I campi di sforzo per ciascun sottodominio vengono detti campi di sforzo omogenei. All'interno di ciascun sottodominio si ipotizza che gli sforzi verticali e orizzontali siano principali. Sotto questa condizione, l'equilibrio in direzione verticale si scrive come:
Per definire le equazioni di equilibrio in direzione orizzontale è possibile partire dalla condizione al contorno sugli sforzi data dalla frontiera libera nel dominio 1. Sotto l'ipotesi di sforzi orizzontali e verticali principali, l'unico modo per avere sforzi tangenziali nulli nel dominio 1 è avere un sforzo orizzontale . Per i domini 2 e 3, non avendo frontiere libere, si impone l'equilibrio sull'elementino di terreno posizionato in corrispondenza della frontiere in comune. Deve valere quindi la condizione (detta condizione di Maxwell): .