In matematica, un polinomio di Littlewood è un polinomio i cui coefficienti sono tutti uguali a oppure a . Equivalentemente, il suo vettore dei coefficienti è una sequenza finita binaria di segni. I polinomi di Littlewood prendono il nome da John Edensor Littlewood, che ne studiò i valori sulla circonferenza unitaria e formulò diversi influenti problemi estremali su di essi negli anni sessanta.

La grandezza naturale di un polinomio di Littlewood di grado sulla circonferenza unitaria è , poiché la sua norma normalizzata è esattamente uguale a tale valore. Una questione centrale chiedeva se il modulo potesse rimanere compreso fra due multipli positivi fissi di in ogni punto della circonferenza. Littlewood congetturò che ciò fosse possibile; la congettura fu dimostrata nel 2020 da Paul Balister, Béla Bollobás, Robert Morris, Julian Sahasrabudhe e Marius Tiba. Restano attive questioni più forti riguardanti un modulo asintoticamente costante, le norme estremali, la misura di Mahler, la distribuzione degli zeri e l'autocorrelazione.

Definizione e proprietà elementari Un polinomio è un polinomio di Littlewood di grado se per ogni . Esistono polinomi di questo tipo. La moltiplicazione per , la sostituzione e il passaggio al polinomio reciproco preservano la classe. Queste operazioni spiegano molte delle simmetrie naturali utilizzate nelle enumerazioni.

Ogni zero di un polinomio di Littlewood soddisfa Infatti, quando , il termine costante ha modulo maggiore della somma di tutti i termini rimanenti, mentre il limite superiore segue applicando lo stesso argomento al polinomio reciproco.

Per , la sua norma normalizzata sulla circonferenza unitaria è e . L'identità di Parseval fornisce Pertanto è il modulo quadratico medio e costituisce la scala di riferimento nei problemi di piattezza.

Piattezza sulla circonferenza unitaria Una successione di polinomi di Littlewood , con , è detta piatta se esistono costanti assolute tali che per ogni appartenente alla successione. I limiti superiore e inferiore svolgono ruoli differenti: il limite superiore controlla i picchi, mentre quello inferiore esclude zeri e avvallamenti profondi sulla circonferenza unitaria.

Polinomi di Rudin–Shapiro I polinomi di Rudin–Shapiro forniscono una classica costruzione esplicita per il limite superiore. Si definiscono e ricorsivamente Sia sia sono polinomi di Littlewood con coefficienti. Sulla circonferenza unitaria soddisfano e quindi . Ciò non fornisce, da solo, un limite inferiore positivo uniforme. Nel 2017 Rodgers dimostrò che i valori opportunamente normalizzati dei polinomi di Rudin–Shapiro diventano uniformemente distribuiti nel disco unitario. Nel 2026 Erdélyi quantificò la loro oscillazione intorno al centro del loro intervallo di valori, dimostrando limiti superiori e inferiori per il numero di soluzioni di e su ogni sottoarco della circonferenza unitaria.

Congettura di Littlewood sulla piattezza Nel 1966 Littlewood congetturò l'esistenza di polinomi di Littlewood piatti. Un influente contributo precedente fu l'articolo di József Beck del 1991 sui polinomi piatti e sul problema di Littlewood. Balister, Bollobás, Morris, Sahasrabudhe e Tiba dimostrarono l'affermazione più forte secondo cui esistono costanti assolute tali che, per ogni , esiste un polinomio di Littlewood di grado che soddisfa La loro dimostrazione combina la teoria della discrepanza con metodi probabilistici e combinatori. Essa risolse la congettura formulata da Littlewood nel 1966 dopo più di cinquant'anni.

Polinomi ultrapiatti Una successione è detta ultrapiatta se Jean-Pierre Kahane dimostrò che esistono successioni ultrapiatte quando si consente ai coefficienti di essere numeri complessi arbitrari di modulo . Bombieri e Bourgain ottennero in seguito costruzioni quantitative più forti in questo contesto unimodulare. Erdős congetturò che non esistesse alcuna successione ultrapiatta di Littlewood. Il problema generale per coefficienti in rimane aperto nella letteratura sottoposta a revisione paritaria; la piattezza limitata, dimostrata nel 2020, è sostanzialmente più debole dell'ultrapiattezza.

Autocorrelazione, norma e fattore di merito Sia e si definiscano le autocorrelazioni aperiodiche non banali Sviluppando il quadrato del modulo si ottiene e l'identità di Parseval fornisce quindi l'identità esatta Di conseguenza, minimizzare la norma equivale a minimizzare la somma dei quadrati delle autocorrelazioni aperiodiche.

Il fattore di merito associato è Un fattore di merito elevato indica che la sequenza dei coefficienti possiede una bassa autocorrelazione complessiva. Questo problema ha avuto origine nell'ambito delle comunicazioni e della progettazione dei segnali e ha generato un'ampia letteratura sulle sequenze di caratteri, sugli insiemi di differenze e sulle costruzioni ricorsive.

Una sequenza di Barker è una sequenza di segni che soddisfa per ogni traslazione non nulla. Tali sequenze producono quindi un difetto eccezionalmente piccolo. Sono note sequenze di Barker soltanto per le lunghezze ; nessuna sequenza di Barker di lunghezza dispari può avere lunghezza maggiore di , mentre l'esistenza di una sequenza più lunga di lunghezza pari rimane un problema aperto.

Le costruzioni aritmetiche forniscono inoltre problemi sulle norme che possono essere trattati esplicitamente. Per un numero primo dispari , il polinomio di Fekete è definito mediante il simbolo di Legendre; è un polinomio di Littlewood. Sono note formule limite esplicite per le sue norme pari normalizzate e per polinomi di caratteri analoghi su campi finiti.

Misura di Mahler La misura di Mahler di un polinomio non nullo è la media geometrica del suo modulo sulla circonferenza unitaria, Per un polinomio di Littlewood con coefficienti essa soddisfa . I polinomi di Littlewood piatti hanno una misura di Mahler confrontabile con , poiché il loro modulo possiede un limite inferiore uniforme dello stesso ordine.

Per i polinomi di Rudin–Shapiro, Erdélyi dimostrò dapprima un limite inferiore dell'ordine di e in seguito dimostrò l'asintotica congetturata da Saffari La misura di Mahler collega inoltre i polinomi di Littlewood a questioni di teoria algebrica dei numeri riguardanti i polinomi reciproci e i piccoli interi algebrici. Per esempio, Borwein, Hare e Mossinghoff determinarono la minima misura di Mahler di un polinomio non reciproco con tutti i coefficienti dispari e calcolarono le più piccole misure dei polinomi di Littlewood reciproci fino al grado .

Zeri La distribuzione degli zeri dei polinomi di Littlewood è estremamente varia nonostante la semplice restrizione sui coefficienti. Alcuni polinomi hanno zeri sulla circonferenza unitaria, mentre altri non ne hanno. Per i gradi tali che sia primo, Borwein, Choi, Ferguson e Jankauskas dimostrarono che, per ogni , esiste un polinomio di Littlewood di grado con esattamente zeri nel disco unitario aperto e nessuno zero sulla sua frontiera.

Un polinomio di Littlewood casuale ha coefficienti indipendenti che assumono i valori e con uguale probabilità. Questo modello risale ai lavori di Littlewood e Offord sulle equazioni algebriche casuali. Yakir dimostrò che, quando , tutti i polinomi di Littlewood con coefficienti, eccetto di essi, hanno zeri all'interno del disco unitario. Per lo stesso modello di coefficienti di Rademacher, Do, Nguyen e Vu dimostrarono che il numero atteso di zeri reali di un polinomio di grado è dove è una costante dipendente dalla distribuzione dei coefficienti.

Anche i coefficienti casuali presentano un profilo prevedibile delle norme. Borwein e Lockhart ottennero espressioni asintotiche per le norme attese di ampie classi di coefficienti indipendenti, mentre Duan, Fang e Zhan dimostrarono nel 2024 che, per polinomi di Littlewood casuali con coefficienti, quasi certamente.

Questioni aritmetiche e algebriche I polinomi di Littlewood danno origine anche a problemi diofantei e di teoria di Galois. Hajdu, Herendi, Tengely e Varga studiarono quando un polinomio di Littlewood assume un valore quadrato in corrispondenza di un argomento intero. Essi classificarono i valori quadrati per i gradi e e per ogni grado pari non superiore a , fornendo inoltre dati computazionali per i gradi dispari non superiori a .

Per i polinomi di Littlewood casuali, si congettura che la probabilità di irriducibilità tenda a al crescere del grado. Nel 2025 Bary-Soroker, Hokken, Kozma e Poonen dimostrarono incondizionatamente che Più precisamente, esiste una costante tale che, quando , con oppure con primo per il quale genera , un polinomio di Littlewood casuale di grado è irriducibile con probabilità almeno .

Per i polinomi di Littlewood reciproci e anti-reciproci, Hokken ottenne asintotiche al termine principale per il numero di quelli aventi discriminante quadrato. Il risultato è collegato a un analogo ad altezza limitata di una congettura di van der Waerden sui gruppi di Galois dei polinomi casuali.

Valori nelle radici dell'unità Per un polinomio di Littlewood con coefficienti, si definiscono le autocorrelazioni periodiche Se , la trasformata discreta di Fourier fornisce Pertanto se e solo se e ogni autocorrelazione periodica non banale è nulla. La matrice circolante la cui prima riga è è allora una matrice di Hadamard circolante.

La congettura di Ryser sulle matrici di Hadamard circolanti afferma che questa esatta piattezza discreta si verifica soltanto per e . Il modulo richiesto è pertanto . Un rafforzamento quantitativo proposto da Steinerberger chiede se esista una costante assoluta tale che ogni polinomio di Littlewood di lunghezza soddisfi

Classi di coefficienti correlate Diverse famiglie vicine vengono studiate mediante metodi analoghi. I polinomi di Newman hanno coefficienti in , mentre i polinomi di Borwein hanno coefficienti in . I polinomi unimodulari ammettono coefficienti complessi arbitrari di valore assoluto ; la costruzione ultrapiatta di Kahane appartiene a questa classe più ampia. I polinomi di Fekete sono polinomi di caratteri i cui coefficienti sono dati dai simboli di Legendre e, dopo la rimozione del coefficiente costante nullo, danno origine a polinomi di Littlewood. I polinomi di Littlewood ciclotomici, i cui zeri sono tutti radici dell'unità, formano un'altra sottoclasse strutturata con norme calcolabili esplicitamente.

Problemi aperti Il teorema sulla piattezza del 2020 stabilisce l'esistenza di limiti superiori e inferiori uniformi, ma non determina le costanti ottimali né produce polinomi di Littlewood ultrapiatti. L'esistenza o la non esistenza di una successione ultrapiatta di Littlewood rimane un problema aperto centrale. Altri problemi importanti comprendono la determinazione del fattore di merito asintotico ottimale, o equivalentemente della più piccola norma normalizzata possibile; stabilire se esistano sequenze di Barker di lunghezza maggiore di ; risolvere la congettura di Ryser sulla piattezza esatta nelle radici dell'unità; e dimostrare che un polinomio di Littlewood casuale è irriducibile con probabilità tendente a , senza limitare il grado a particolari sottosuccessioni.

Note

Bibliografia

Voci correlate Codice di Barker

Categoria:Polinomi Categoria:Analisi armonica Categoria:Analisi di Fourier