In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi, dando una descrizione approssimativa di come i numeri primi sono distribuiti.
Enunciato Per ogni numero reale positivo si definisca la funzione:
Il teorema dei numeri primi afferma che:
dove è il logaritmo naturale di Questa notazione vuole significare solo che il limite del quoziente delle due funzioni e per che tende ad infinito è 1 (vedi stima asintotica); ciò non significa che il limite della differenza delle due funzioni, per che tende ad infinito, è 0.
Un'approssimazione ancora migliore, e una stima per il termine di errore, sono date dalla formula:
dove si è usata la notazione O grande, e denota la funzione logaritmo integrale.
Come conseguenza del teorema dei numeri primi si può ottenere un'espressione asintotica per l'-esimo numero primo :
Equivalentemente, la differenza tra l'-esimo numero primo e il successivo è asintotica a:
Quella che segue è una tabella che mette a confronto le tre funzioni e
{| class="wikitable" style="text-align: right" ! x ! π(x) ! π(x) − x / ln x ! π(x) / (x / ln x) ! Li(x) − π(x) ! π(x) / Li(x) ! x / π(x) |- | 10 | 4 | −0,3 | 0,921 | 2,2 | 0,64516129 | 2,500 |- | 102 | 25 | 3,3 | 1,151 | 5,1 | 0,830564784 | 4,000 |- | 103 | 168 | 23 | 1,161 | 10 | 0,943820225 | 5,952 |- | 104 | | 143 | 1,132 | 17 | 0,98635634 | 8,137 |- | 105 | | 906 | 1,104 | 38 | 0,996053998 | 10,425 |- | 106
| 1,084 | 130 | 0,998346645 | 12,740 |- | 107
| 1,071 | 339 | 0,999490163 | 15,047 |- | 108
| 1,061 | 754 | 0,999869147 | 17,357 |- | 109
| 1,054 | 1.701 | 0,999966548 | 19,667 |- | 1010
| 1,048 | | 0,999993179 | 21,975 |- | 1011
| 1,043 | | 0,999993179 | 24,283 |- | 1012
| 1,039 | | 0,999997186 | 26,590 |- | 1013
| 1,034 | | 0,999998983 | 28,896 |- | 1014
| 1,033 | | 0,999999685 | 31,202 |- | 1015
| 1,031 | | 0,999999902 | 33,507 |- | 1016
| 1,029 | | 0,999999965 | 35,812 |- | 1017
| 1,027 | | 0,999999988 | 38,116 |- | 1018
| 1,025 | | 0,999999997 | 40,420 |- | 1019
| 1,024 | | 0,999999999 | 42,725 |- | 1020
| 1,023 | | 1,000000000 | 45,028 |- | 1021
| 1,022 | | 1,000000000 | 47,332 |- | 1022
| 1,021 | | 1,000000000 | 49,636 |- | 1023
| 1,020 | | 1,000000000 | 51,939
Storia del teorema Questo teorema fu congetturato per la prima volta da Legendre nel 1798 e fu riproposto pochi anni più tardi da Gauss nella forma equivalente
Il primo risultato nella direzione della dimostrazione di tale congettura fu provato da Chebyshev che nel 1848 mostrò che, se converge ad un limite per tendente all'infinito, il limite dev'essere 1. Due anni più tardi lo stesso Chebyshev provò che vi sono due costanti tali che
per sufficientemente grande. Le dimostrazioni del matematico russo si basano sulla formula prodotto di Eulero che afferma che
per Nel 1859 il matematico tedesco Bernhard Riemann pubblicò un articolo in cui considerava tale prodotto non più per una variabile reale ma per una variabile complessa di parte reale maggiore di 1, definendo quindi la funzione
divenuta nota con il nome di funzione zeta di Riemann. Sebbene Riemann non riesca a provare il teorema dei numeri primi, i risultati che ottiene, quale l'equazione funzionale per la funzione zeta di Riemann, e il punto di vista nuovo che introduce saranno fondamentali per la successiva dimostrazione. Circa quarant'anni dopo il lavoro di Riemann, nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin riescono, indipendentemente, a provare il teorema dei numeri primi. Entrambe le dimostrazioni utilizzano metodi di analisi complessa e si basano principalmente sulla dimostrazione che la funzione zeta di Riemann non ha zeri nella retta Re(s)=1.
Il legame tra il teorema dei numeri primi e la funzione zeta di Riemann è molto profondo. Più precisamente, ogni risultato sull'assenza di zeri nella striscia ha come conseguenza risultati sulla bontà dell'approssimazione di con . Un esempio di ciò è dato dal risultato che Helge von Koch dimostrò nel 1901. Egli provò infatti che se non vi sono zeri in tale striscia, allora
In questo caso vale anche il viceversa, cioè se questa equazione è vera allora è vera anche l'ipotesi di Riemann.
In altre parole, la veridicità dell'ipotesi di Riemann implica una stima molto migliore dell'errore presente nel teorema dei numeri primi rispetto a quelle attualmente disponibili e, fondamentalmente, anche la migliore stima possibile.
Il problema della "profondità" Sono disponibili alcune cosiddette "dimostrazioni elementari" del Teorema, dimostrazioni che non usano cioè metodi di analisi complessa. La prima fra queste è stata fornita in parte indipendentemente da Paul Erdős e Atle Selberg nel 1949; in precedenza alcuni esperti nel campo avevano creduto che una dimostrazione simile non si potesse trovare. In altre parole, si affermò, specialmente da parte di G. H. Hardy, che l'analisi complessa era necessariamente coinvolta nel Teorema, portando al concetto di profondità dei teoremi. Metodi con sole variabili reali erano considerati inadeguati. Non si trattava di un concetto logico e rigoroso (e effettivamente non può esserlo), ma era piuttosto basato sull'opinione che dovesse esistere una simile gerarchia di tecniche (per ragioni estetiche, presumibilmente, nel caso di Hardy). La formulazione di questa convinzione è stata scossa da una dimostrazione del teorema basata sul teorema tauberiano di Wiener, benché ciò si possa aggirare assegnando al teorema di Wiener una 'profondità' stessa equivalente ai metodi complessi.
Il lavoro di Selberg - Erdős ha di fatto rimesso in discussione questa idea, mostrando che i metodi "tecnicamente elementari" (in questo caso la combinatoria) sono stati più incisivi di quanto ci si sarebbe aspettato. I successivi sviluppi dei metodi del crivello hanno mostrato che svolgono un ruolo ben preciso nella teoria dei numeri primi.
Note
Bibliografia
Collegamenti esterni
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