La fluidostatica o statica dei fluidi è una branca della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in stato di quiete, cioè ogni corpo continuo per cui sia valida la legge di Pascal con velocità media costante nel tempo e vettorialmente omogenea nello spazio.
La fluidostatica è suddivisa in aerostatica (in riferimento ai gas) e idrostatica (in riferimento ai liquidi come acqua e olio).
Pressione
La pressione non ha caratteristiche direzionali; essa è una funzione scalare del punto che si considera all'interno del fluido e non dipende dall'orientazione della superficie su cui è misurata. A dimostrazione di questa tesi vi è il principio di solidificazione: si immagini un elemento di fluido separato dal resto da una superficie indeformabile (ad esempio un prisma a sezione triangolare); si supponga che il prisma sia in quiete sotto l'azione delle forze di pressione, ciascuna ortogonale alla superficie e costante. Tale condizione richiede l'equilibrio lungo gli assi perciò valgono le seguenti relazioni:
Essendo e si verifica che , indipendentemente dal valore delle aree e dell'angolo.
Equilibrio statico In fisica, un fluido in quiete si definisce in equilibrio statico se tutti gli elementi hanno accelerazione e velocità nulla in un sistema di riferimento inerziale: le forze devono pertanto avere risultante uguale a zero. Siccome sull'elemento di fluido agiscono forze di pressione e forze di volume , deve valere la seguente relazione su tutti gli assi.
Forze di pressione Considero un cubetto di fluido di volume , con spigolo . La risultante delle forze di pressione lungo ciascun asse vale:
Questo può essere riassunto in unica espressione, ovvero considerando la forza vettorialmente come somma delle componenti sugli assi: .
Forze di volume Ricordando la seconda legge della dinamica, la risultante delle forze di volume vale: .
Considerazioni finali
Equazione globale L'equazione fondamentale dell'idrostatica esprime la conservazione della quantità di moto globale in un volume finito in cui sia valida la legge di Pascal, quindi ammette la discontinuità integrabile degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione. Per ottenere tale espressione basta osservare i risultati ottenuti in precedenza e sostituirli nell'espressione generalizzata .
Da questo si ricava: . Questa equazione viene definita globale e stabilisce che la risultante delle forze di volume di un fluido statico è uguale ed opposta alla spinta che agisce sulla superficie che lo delimita, logicamente dall'esterno verso l'interno. Da essa deriva la legge di Archimede.
In caso di forza di volume conservative è possibile fare un'ulteriore studio di questa espressione. Sapendo che , si ottiene: , dove è energia potenziale per unità di massa.
Equazione locale La legge di Stevino è un'applicazione della condizione di equilibrio statico con forze di volume conservative: essa, infatti, considera l'azione del campo gravitazionale su un fluido. Seguono le considerazioni numeriche:
Quest'ultima espressione viene chiamata forma locale ed è valida nei punti di continuità degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione, e può essere ricavata dalla legge di Pascal e dalla conservazione della quantità di moto localeNon coinvolgendo alcuna derivata temporale, l'equazione assume un'unica espressione e non una lagrangiana e una euleriana. Se densità e accelerazione di gravità sono omogenei nel dominio, l'equazione si traduce in:
Nel caso in cui solo sia costante non si può più trattare il fluido come incompressibile; sapendo che la massa si conserva e che il modulo di compressibilità vale , seguono considerazioni matematiche:
, questa espressione posso sostituirla nella condizione di conservazione della massa;
Trovata l'espressione della densità al variare della pressione si può calcolare l'integrale della forma locale:
Legge di Pascal
Il principio di Pascal o legge di Pascal è una legge della meccanica dei fluidi che stabilisce che, quando avviene un aumento della pressione in un punto di un fluido confinato, tale aumento viene trasmesso anche ad ogni punto del fluido all'interno del contenitore con la stessa intensità ma in direzione sempre perpendicolare alla parete del contenitore sulla quale il fluido esercita la pressione.
Principio di Archimede
In un fluido in equilibrio sotto l'azione della forza di gravità si isoli idealmente un volume finito di fluido . La risultante delle forze di pressione esercitate dal resto del fluido sulla parte isolata è uguale ed opposta alla forza peso della stessa. Tale principio è noto come "principio di Archimede".
Equilibrio non inerziale
Fluido in moto rettilineo uniformemente accelerato Si consideri un fluido (in particolare un liquido) in un recipiente uniformemente accelerato. Ciascun elemento di liquido descrive una traiettoria rettilinea e quindi è sottoposto a una forza parallela alla traiettoria stessa pari a . Per comprendere il fenomeno si fa riferimento al sistema concorde con il liquido accelerato, per il quale il liquido è in equilibrio statico sotto l'azione delle forze di volume, e , e delle forze di pressione dovute agli elementi di liquido circostanti.
Stabilite le condizioni a contorno è possibile ottenere le seguenti considerazioni matematiche:
Inoltre si suppone che le forze di volume in gioco siano conservative, quindi si ottiene:
Concludendo, da questo sistema è possibile ricavare la condizione di equilibrio statico di un fluido in rotazione: , ovvero che . Per trovare l'equazione delle superfici isobare e quindi isopotenziali è necessario considerare costante la pressione lungo di esse; facendo così si ottiene . Il termine indica l'altezza massima del liquido in trascinamento e per trovare il suo valore si deve uguagliare il volume iniziale (liquido statico non in moto) al volume del liquido in trascinamento. Supponendo che il contenitore sia cubico con spigolo si ottiene:
, dove è il livello del liquido statico all'interno del contenitore cubico di spigolo .
Riassumendo, l'equazione delle superfici isobare e isopotenziali di un fluido in trascinamento con accelerazione costante è la seguente:
Fluido in rotazione Si consideri un fluido (in particolare un liquido) in un recipiente cilindrico posto in rotazione rispetto all'asse del cilindro (velocità angolare costante). Ciascun elemento di liquido descrive un'orbita circolare e quindi è sottoposto a una forza radiale, diretta verso l'asse di rotazione, pari a , dove è la distanza dell'elemento di massa dalla asse di rotazione. Per comprendere il fenomeno si fa riferimento al sistema concorde con il liquido in rotazione, per il quale il liquido è in equilibrio statico sotto l'azione delle forze di volume, e , e delle forze di pressione dovute agli elementi di liquido circostanti.
Stabilite le condizioni a contorno è possibile ottenere le seguenti considerazioni matematiche:
Inoltre si suppone che le forze di volume in gioco siano conservative, quindi si ottiene:
Concludendo, da questo sistema è possibile ricavare la condizione di equilibrio statico di un fluido in rotazione: , ovvero che . Per trovare l'equazione delle superfici isobare e quindi isopotenziali è necessario considerare costante la pressione lungo di esse; facendo così si ottiene . Il termine indica il minimo della parabola individuata sezionando il liquido in rotazione e per trovare il suo valore si deve uguagliare il volume iniziale (liquido statico non in moto) al volume del liquido rotazionale:
, dove è il livello del liquido statico all'interno del cilindro e è il raggio del cilindro.
Riassumendo, l'equazione delle superfici isobare e isopotenziali all'interno di un fluido in rotazione a velocità angolare costante è la seguente:
Fenomeni di superficie
Tensione superficiale
In fisica la tensione superficiale di un fluido è la tensione meccanica di coesione delle particelle sulla sua superficie esterna. Si possono proporre per studiare l'effetto della tensione sulla forma del menisco fluido e di una goccia dei modelli matematici presi dalla teoria dei gusci e dalla scienza delle costruzioni di volta architettonica. Corrisponde microscopicamente alla densità superficiale di energia di legame sull'interfaccia tra un corpo continuo e un materiale di un'altra natura, ad esempio un solido, un liquido o un gas. Non è quindi assimilabile dimensionalmente ad uno sforzo interno (che è dimensionalmente una forza per unità di superficie): nel Sistema internazionale si misura infatti in newton su metro (N/m).
Dal punto di vista termodinamico può essere definita come il lavoro necessario per aumentare la superficie del continuo di una quantità unitaria.
Capillarità
La capillarità è l'insieme di fenomeni dovuti alle interazioni fra le molecole di un liquido e un solido sulla loro superficie di separazione. Le forze in gioco che si manifestano in tale fenomeno sono la coesione, l'adesione e la tensione superficiale.
Termodinamica Il primo principio della termodinamica declinato nell'idrostatica si traduce in una conduzione-convezione statica senza sorgente termica:
quindi:
ovvero, esplicitando i due termini:
e applicando il teorema della divergenza:
ovvero applicando la regola di Leibniz:
e infine, considerando la conservazione della massa:
che nei punti di continuità di tutte le grandezze coinvolte nell'integrando diventa l'equazione di reazione-trasporto-diffusione omogenea:
dove: è il tensore di diffusività termica (generica, non solo idrostatica)
è il vettore di trasporto termico (generico, non solo idrostatico)
è la reattività termica idrostatica, più semplice che nel caso generale.
Esempi Fluido incomprimibile a riposo in un campo gravitazionale uniforme
Notazione: nell'esempio che segue, si orienterà l'asse spaziale secondo quello dell'accelerazione esterna gravitazionale (in senso verticale verso il basso: z cresce man mano che si scende).
Essendo il fluido incomprimibile, esso trasmette integralmente gli sforzi. La pressione, ad una profondità z, risulta quindi dalla pressione p0 che esercita l'aria in superficie, e dal peso p della colonna d'acqua al di sopra della membrana.
Supponiamo che la membrana sia orizzontale ed orientata verso l'alto, e che la sua area sia S. La colonna d'acqua situata al di sopra ha volume S·z, quindi massa ρ·S·z se ρ è la densità dell'acqua. Il peso dell'acqua è quindi:
dove g è l'accelerazione di gravità, e la membrana è dunque sottoposta ad una forza F
È questa variazione della pressione in funzione della profondità (Legge di Stevino) che crea la spinta di Archimede.
Quando si considerano grandi variazioni di altitudine, non si può più considerare il campo di gravità come costante, g dipende dunque da z. E siccome il fluido è un gas, non lo si può più considerare come incomprimibile, perciò ρ dipende da z; ma il fenomeno è sensibile solo per variazioni di pressione significative, ed essendo piccolo ρ nel caso di un gas, in questo caso interviene solo variazioni di z abbastanza grandi.
Localmente, per piccole variazioni dz di z, si può ancora scrivere:
È necessario quindi integrare tale equazione:
se si conosce la legge del gas, per esempio se si tratta di un gas perfetto, allora per una data massa m di gas, si può ricavare il volume V alla pressione p, e quindi la massa volumica ρ alla pressione p:
se ρ0 e p0 sono valori ad un'altitudine z0 di riferimento.
Nel caso dell'atmosfera, bisogna inoltre tenere conto della variazione di temperatura e di composizione con la quota.
Spinta su una superficie piana Consideriamo una superficie S che giace su un piano inclinato di un angolo α sull'orizzontale; su questa superficie agisce la pressione di un liquido con un peso specifico γ, a questo compete un piano dei carichi idrostatici. Le spinte esercitate dal liquido su ogni infinitesimo elemento della superficie piana valgono: