L'identità di Sophie Germain è la seguente identità:
Non è immediato ricavare questa fattorizzazione, dal momento che, diversamente dalla differenza di due quadrati, la somma di due quadrati non si può (in generale) scomporre, se non ricorrendo ai numeri complessi: . Ciò non è vero se anche è un quadrato, poiché in questo caso è sufficiente aggiungere e sottrarre .
Si può ricavare l'identità tramite completamento del quadrato:
Un'applicazione
Questa identità permette di risolvere un problema posto nel 1977 nella competizione matematica József Kürschák: dimostrare che è composto se .
Se è pari, allora, banalmente, è divisibile per 2. Se, invece, è dispari, allora, posto , si ha:
che, essendo della forma , si può fattorizzare con l'identità di Sophie Germain:
Il risultato discende in maniera immediata dall'osservazione secondo cui, per , entrambi i fattori sono interi maggiori di 1.
Bibliografia
Voci correlate Prodotto notevole Sophie Germain
Sophie Germain, identità di