Il modello IS-LM è una rappresentazione sintetica del pensiero economico keynesiano, così come interpretato dalla sintesi neoclassica. La sigla sta per le parole inglesi Investment Saving - Liquidity Money ovvero Investimento Risparmio - Liquidità Denaro. Ha lo scopo di rappresentare insieme il settore reale (IS) e quello monetario (LM).
Descrizione Introduzione Nel 1936 l'economista inglese John Maynard Keynes diede alle stampe l'importante Teoria generale dell'occupazione, dell'interesse e della moneta che rimase per almeno trent'anni la più importante opera economica a occuparsi di temi macroeconomici. Nel 1937 sir John Richard Hicks formalizzò il sistema keynesiano elaborando uno schema che considera congiuntamente gli aspetti reali e monetari. Questi elaborò due curve che chiamò IS-LL, che subirono successive rielaborazioni nel dopoguerra, diventando le curve IS-LM (investment-saving, investimento-risparmio; liquidity-money, liquidità-denaro).
Si parla di schema delle curve IS-LM o della sintesi neoclassica-keynesiana, poiché il modello IS-LM unisce la rappresentazione del settore reale (curva IS) con quella del settore monetario (LM). Oggi lo schema è completato dalle curve AD-AS (domanda aggregata-offerta aggregata).
L'equilibrio generale macroeconomico si ha quando i due mercati sono simultaneamente in equilibrio, vale a dire quando nel settore reale la domanda aggregata è uguale all'offerta aggregata e quando nel settore monetario la domanda di moneta è uguale all'offerta di moneta. L'equilibrio è simultaneo in quanto i due mercati presentano variabili comuni, e dunque essi sono interdipendenti.
Statica comparata del modello IS-LM Immaginiamo che nel nostro sistema economico tutte le attività si suddividano in 2 categorie: quelle che maturano interessi dette "titoli" e quelle che non fruttano alcun interesse dette "moneta". La domanda di moneta è la quantità di moneta di cui hanno bisogno le famiglie per provvedere agli acquisti e per fronteggiare imprevisti. Essa cresce con l'aumentare del PIL; infatti, se il PIL cresce aumenta la necessità di moneta da parte delle famiglie per effettuare le proprie transazioni, mentre decresce con l'aumentare del tasso di interesse dei titoli perché le famiglie riterranno più conveniente investire in titoli piuttosto che possedere moneta. La domanda di moneta L quindi è una funzione differenziabile nelle 2 variabili Y ed r essendo Y il PIL ed r il tasso di interesse. Essendo L(Y,r) crescente in Y e decrescente in r risulta:
e
Inoltre poiché gli agenti economici possono detenere esattamente la quantità di moneta offerta dalla Banca centrale allora l'offerta di moneta m deve eguagliare la domanda di moneta L pertanto:
Poiché sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite o di Dini, esiste un intorno di una coppia e una funzione soluzione di e risulta:
quindi se il tasso di interesse cresce, deve crescere il PIL affinché la domanda di moneta continui ad eguagliare l'offerta di moneta. Quando il tasso di interesse cresce, L decresce in r ma cresce in Y quindi se cresce r e cresce anche il PIL e viceversa l'equilibrio tra domanda e offerta di moneta si mantiene.
Secondo l'ipotesi keynesiana l'investimento in titoli delle famiglie (risparmio, S) non dipende solo dal tasso di interesse ma anche dal livello del reddito (PIL) pertanto S = sY dove s è la propensione marginale al risparmio con . I titoli delle famiglie possono finanziare o l'investimento delle aziende I oppure la spesa pubblica dello Stato G pertanto:
La funzione I è decrescente in r, infatti maggiore è il tasso di interesse, minore saranno i prestiti nel mercato dei capitali. Essendo soddisfatte anche in tal caso le ipotesi del teorema delle funzioni implicite relativamente alla funzione a 2 variabili H(Y,r) = sY - I(r), risulta:
quindi, affinché i risparmi continuino ad eguagliare la spesa pubblica e la spesa per investimenti, se cresce r deve decrescere Y e viceversa.
Ora considerato il sistema dato dalle 2 funzioni implicite sopra indicate dove Y ed r si considerano variabili endogene ed m, G esogene:
poiché le 2 funzioni L ed H sono differenziabili e il determinante:
si può applicare il teorema di invertibilità locale delle funzioni allora esistono 4 valori
tali che valga questa uguaglianza:
Calcolando la matrice inversa di J e risolvendo il sistema si ottiene:
Essendo nell'equazione 3) i termini che moltiplicano dG e dm tutti positivi, mentre nell'equazione 4) uno positivo e l'altro negativo esistono 8 possibilità di politica fiscale e monetaria: Se aumenta l'offerta di moneta della Banca centrale ed aumenta la spesa pubblica, allora di sicuro aumenta il PIL ma non si può dire nulla sulla variazione del tasso di interesse. Se aumenta l'offerta di moneta e diminuisce la spesa pubblica di sicuro il tasso di interesse diminuisce ma nulla si può dire sulla variazione del PIL. Se diminuisce sia la spesa pubblica che l'offerta di moneta di sicuro diminuisce il PIL ma nulla si può dire sulla variazione del tasso di interesse. Se diminuisce l'offerta di moneta ed aumenta la spesa pubblica il tasso di interesse aumenta ma nulla si può dire sulla variazione del PIL. Se non c'è variazione di offerta di moneta e la spesa pubblica aumenta, aumentano sia il PIL che il tasso di interesse. Se non c'è variazione di offerta di moneta e diminuisce la spesa pubblica diminuisce sia il PIL che il tasso di interesse. Se non c'è variazione di spesa pubblica ma aumenta l'offerta di moneta il Pil aumenta ma il tasso di interesse diminuisce. Se non c'è variazione di spesa pubblica e diminuisce l'offerta di moneta il Pil diminuisce ma il tasso di interesse aumenta.
Dinamica del modello IS-LM nel dominio del tempo Dopo avere valutato la statica comparata del Modello IS-LM è opportuno valutarne anche la dinamica. In particolare è possibile valutare in che modo variano in funzione del tempo il PIL Y e il tasso di interesse r, che costituiscono le nostre variabili di stato, a partire da uno stato iniziale prestabilito sotto l'effetto di un prestabilito ingresso nel sistema costituito dalla spesa pubblica G e dall'offerta di moneta m della Banca Centrale. Poiché il PIL cresce quando la domanda (spesa pubblica più investimenti) supera i risparmi e il tasso di interesse cresce quando la domanda di moneta supera l'offerta si ha :
Riscrivendo il sistema in forma lineare si ha
Applicando la definizione di stato stazionario di un sistema dinamico si ha che nel caso specifico esso risulti uguale alla coppia tale che :
Essendo le funzioni , lineari e crescenti in base alle ipotesi allora esistono le loro rispettive funzioni inverse e si ha:
e quindi :
Risolvendo il sistema si ottiene lo stato stazionario :
Posto:
e
per la linearità delle 2 funzioni si ha:
Applicando la formula di Taylor alle funzioni , si ha:
che si può scrivere nella forma:
Calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice:
e applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori reali e distinti si ha:
con matrice le cui colonne sono gli autovettori di A, matrice diagonale dove sulla diagonale principale vi sono gli esponenziali elevati a ciascun autovalore moltiplicato per .
Applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori complessi coniugati si ha:
con
e
con e rispettivamente parte reale e parte immaginaria degli autovalori complessi coniugati.
Si nota che essendo , , , quantità positive gli autovalori della matrice sono sia nel caso reale che nel caso complesso coniugato con parte reale negativa quindi calcolando il limite per tendente a infinito dello stato del sistema (vettore le cui componenti sono il PIL e il tasso di interesse) si nota che il PIL e il tasso di interesse convergono sempre verso lo stato stazionario, pertanto il modello IS-LM è asintoticamente stabile. La convergenza verso lo stato stazionario può avvenire o crescendo o decrescendo oppure oscillando.
Dinamica del Modello IS-LM nel dominio di s
Trasformando secondo Laplace ambo i membri del sistema di equazioni differenziali e lineari:
si ottiene :
che risulta uguale a :
In particolare risulta nel caso di autovalori della matrice A reali e distinti :
con :
Quindi risulta :
Antitrasformando secondo Laplace si ottiene :
Nel caso di autovalori della matrice A complessi coniugati si ottiene :
e quindi :
con :
Antitrasformando secondo Laplace si ottiene:
Equazioni della curva LM La curva LM indica tutte le possibili combinazioni dei livelli del reddito reale e del tasso di interesse per le quali vi è uguaglianza tra la domanda e l'offerta di moneta in termini reali. Si denotano in quanto segue il tasso di interesse prevalente nel mercato delle attività finanziarie con , e il reddito nazionale con .
Si supponga esogena e costante l'offerta di moneta (s sta per supply - offerta, in inglese, indica una quantità data), e una domanda di moneta che dipende dal reddito, considerando per semplicità una funzione lineare , e inversamente correlata al tasso di interesse, dunque tale che:
L'eguaglianza tra domanda e offerta () definisce la curva, o relazione di equilibrio nel mercato monetario, LM:
La scrittura sopra è equivalente a:
In particolare la prima equazione viene rappresentata su assi cartesiani con la variabile Y sull'asse delle ascisse e il tasso di interesse i su quello delle ordinate. La curva ha generalmente inclinazione positiva.
Dalle espressioni sopra discende che un aumento (riduzione) della quantità offerta di moneta provocherà, ceteris paribus, una traslazione verso il basso (verso l'alto) della curva LM, per una distanza pari a , o equivalentemente, una traslazione verso destra (sinistra) per una distanza pari a .
Equazioni della curva IS Analogamente immaginando uno schema semplificato, senza spesa pubblica, tassazione e settore estero, il reddito nazionale è semplicemente uguale alla somma di consumi C e investimenti I:
Si supponga ora che i consumi siano una funzione lineare del reddito nazionale, , dove è detta propensione marginale al consumo, e ha valore compreso tra 0 e 1; la relazione implica che all'aumentare del reddito nazionale il consumo aggregato aumenti. Si assuma inoltre che gli investimenti siano una funzione lineare decrescente del tasso di interesse i, , dove è maggiore di zero; in altre parole un aumento del tasso di interesse, aumentando il costo medio del finanziamento di un investimento, riduce l'ammontare di investimento osservato a livello aggregato nell'economia.
Sostituendo le espressioni per consumi e investimenti aggregati all'interno dell'espressione per il reddito nazionale, si giunge alla relazione di equilibrio nel mercato dei beni reali, o curva IS:
L'equazione sopra può essere esplicitata per i, analogamente a quella relativa alla curva LM:
Tale espressione può essere estesa al caso di un'economia in cui è presente l'imposizione fiscale in ammontare , la spesa pubblica per l'acquisto di beni e servizi , il settore estero, sinteticamente rappresentato dalle esportazioni nette , dove denota le esportazioni, e le importazioni. Il reddito nazionale è in tal caso pari a: