La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari lo è.
La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione . Ciò conduce alla formula implicita:
Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine () e latitudine (), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:
L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani , , è tangente alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato e terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in uno spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.
Esistono tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836.
Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico nelle variabili dato superficie nello spazio tridimensionale::
Costruzione: dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee:
Derivazione della formula implicita Per semplicità considereremo solo il caso per . Si tracci la sfera individuata dai tre punti tali che
Applichiamo ora a questi punti la trasformazione , dove .
In questo modo, otteniamo che
e perciò , che è la tesi voluta.
Derivazione delle equazioni parametriche La superficie romana è data da:
In coordinate affini abbiamo:
Altre parametrizzazioni dell'equazione sono dati da:
Si consideri ora una sfera di raggio , longitudine , e latitudine . Allora le sue equazioni parametriche sono
Ora, applicando la trasformazione a tutti i punti di questa sfera otteniamo
che sono i punti della Superficie di Steiner. Sia compreso tra e , e variabile tra e .
Ciò risulta dalla parametrizzazione della sfera unitaria
sotto la trasformazione
Il cross-cap è dato da:
In coordinate affini:
Relazione col piano proiettivo reale La sfera, prima di essere trasformata, non è omeomorfa col piano proiettivo reale , mentre la sfera centrata sull'origine possiede questa proprietà: vale a dire che, se i punti appartengono alla sfera, allora anche i punti antipodàli appartengono alla medesima sfera, ma le due triplette di punti sono differenti e sono situati su lati opposti rispetto al centro della sfera.
La trasformazione converte le due triplette di punti antipodali, nel solito punto,
Note
Voci correlate Superficie di Boy
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