Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.
Formalmente, un numero è di Liouville se per ogni numero intero positivo esistono degli interi e con tali che
.
Una definizione equivalente è che per ogni esistono infinite coppie di interi che verificano questa proprietà.
Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.
Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo sono non numerabili, ma hanno misura nulla. Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero () e pi greco ().
La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.
Irrazionalità Supponiamo che sia , con e interi, e sia tale che . Allora per ogni coppia di interi e tali che e si ha
contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.
Trascendenza Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.
Lemma. Per ogni algebrico irrazionale di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0
Dimostrazione del lemma.
Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha
Quindi in particolare
Osserviamo ora che , in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza , perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), allo stesso denominatore qn, e ciò dimostra il lemma.
Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville sia algebrico di grado n, sia A la costante data dal lemma e r tale che . Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha
il che contraddice l'algebricità di , per il lemma precedente e l'arbitrarietà di A.
La costante di Liouville Un particolare numero di Liouville è la cosiddetta costante di Liouville. Essa è pari a
È facile dimostrare che essa è un numero di Liouville: ponendo infatti
(che sono numeri interi) si ottiene
e quindi c verifica la definizione di numero di Liouville, in quanto questa relazione vale per ogni intero positivo n.
Note
Bibliografia Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria dei numeri trascendenti