Fisico teorico, viene considerato un enciclopedico e in matematica l'ultimo universalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni.
Diede molti contributi originali alla matematica pura, alla matematica applicata, alla fisica matematica e alla meccanica celeste. A lui si deve la formulazione della congettura di Poincaré, uno dei più famosi problemi in matematica. Nelle sue ricerche sul problema dei tre corpi, fu il primo a scoprire un sistema caotico deterministico, ponendo in tal modo le basi della moderna teoria del caos. Viene inoltre considerato uno dei fondatori della topologia.
Poincaré introdusse il moderno principio di relatività e fu il primo a presentare le trasformazioni di Lorentz nella loro moderna forma simmetrica. Completò le trasformazioni concernenti la velocità relativistica, che trascrisse in una lettera a Lorentz nel 1905, ottenendo così la perfetta invarianza delle equazioni di Maxwell, un passo importante nella formulazione della teoria della relatività ristretta. Introdusse l'importante gruppo matematico che porta il suo nome.
Era zio materno del matematico e storico della scienza Pierre Boutroux.
Biografia Poincaré nacque il 29 aprile 1854 nei dintorni di Cité Ducale, presso Nancy, nell'ambito di una famiglia influente (Belliver, 1956). Il padre, Leon Poincaré (1828–1892) fu professore di medicina all'Università di Nancy (Sagaret, 1911). La sorella minore Alina sposò il filosofo spiritualista Émile Boutroux. Un altro membro notevole della famiglia fu il cugino Raymond Poincaré, che sarebbe divenuto Presidente della Repubblica Francese dal 1913 al 1920, e un membro onorario dell'Académie française.
Istruzione Durante la sua infanzia cadde a lungo malato di difterite e ricevette un'istruzione speciale dalla madre, Eugénie Launois (1830–1897).
Nel 1862 entrò al Liceo di Nancy (oggi ribattezzato Liceo Henry Poincaré in suo onore, così come l'Università di Nancy). In tale scuola trascorse undici anni e durante questo periodo dimostrò di essere uno dei migliori allievi in tutte le materie di studio: in particolare eccelleva in composizione scritta. Il suo insegnante di matematica lo descriveva come un "mostro in matematica" e vinse i primi premi ai concorsi tra i migliori studenti dei licei francesi. Le sue materie deboli erano musica ed educazione fisica, dove era descritto come "nella media" (O'Connor et al., 2002). Comunque, la vista debole e la tendenza alla distrazione possono spiegare tali difficoltà (Carl, 1968). Ottenne il diploma liceale nel 1871 come baccalaureato in lettere e scienze.
Durante la guerra franco-prussiana del 1870 egli prestò servizio con il padre nel corpo di soccorso medico.
Poincaré entrò all'École polytechnique nel 1873. Qui ebbe come insegnante di matematica Charles Hermite, continuò a eccellere e pubblicò il suo primo trattato (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) nel 1874. Si laureò nel 1875 o 1876. Proseguì gli studi presso l'École des Mines, continuando a studiare matematica oltre che ingegneria mineraria e conseguendo la laurea in ingegneria nel marzo 1879.
Dopo la laurea all'École des Mines, entrò nella Società Mineraria come ispettore della regione di Vesoul, nel Nordest della Francia. Era sul posto durante il disastro di Magny nell'agosto 1879, ove persero la vita 18 minatori. Espletò le indagini ufficiali nell'incidente in un modo assai coinvolto e umanitario.
Nello stesso tempo, Poincaré si stava preparando per il dottorato in scienze e matematica sotto la supervisione di Charles Hermite. La sua tesi di dottorato riguardò il campo delle equazioni differenziali e si intitolava Sulle proprietà delle funzioni finite per le equazioni differenziali. Poincaré ravvisò un nuovo modo di studiare le proprietà di queste equazioni. Non solo affrontò il problema di determinare l'integrale di tali equazioni, ma fu anche il primo a studiarne le proprietà geometriche. Capì che potevano essere utilizzate per costruire un modello del comportamento dei multi-corpi in moto libero nel sistema solare. Poincaré si laureò all'Università di Parigi nel 1879.
Carriera Poco dopo questa laurea gli fu offerto un posto come lettore junior presso l'Università di Caen, ma non abbandonò mai la sua carriera mineraria per l'insegnamento. Egli lavorò al Ministero dei Servizi Pubblici come ingegnere responsabile dello sviluppo delle ferrovie del Nord della Francia dal 1881 al 1885 e successivamente diventò ingegnere capo della Società Mineraria nel 1893 e ispettore generale nel 1910.
A partire dal 1881, e per il resto della sua carriera, fu insegnante all'Università di Parigi (la Sorbona). Inizialmente fu nominato "maestro di conferenze di analisi" (professore associato di analisi) (Sageret, 1911); successivamente occupò il posto di insegnante di meccanica fisica e sperimentale, fisica matematica, teoria delle probabilità, meccanica celeste e astronomia.
Nello stesso 1881 Poincaré sposò Poulain d'Andecy, ed ebbero quattro figli: Jeanne (nata 1887), Yvonne (nata 1889), Henriette (nata 1891), e Léon (nato 1893).
Nel 1887, a 32 anni, Poincaré divenne membro dell'Accademia francese delle scienze. Di tale accademia divenne presidente nel 1906, e nel 1909 divenne membro dell'Académie française.
Nel 1887 vinse il concorso matematico indetto da Oscar II, Re di Svezia, per la risoluzione del problema a tre corpi che riguardava il moto libero dei molti-corpi in orbita (v. paragrafo Il problema dei tre corpi).
Nel 1893 Poincaré fece parte del Bureau des Longitudes, ove si occupò del problema della sincronizzazione dell'orario nel mondo. Nel 1897 riportò una soluzione infruttuosa per rendere decimale la misura circolare e quindi il tempo e la longitudine (v. Galison 2003). Fu questo che lo portò a considerare il problema di stabilire i fusi orari e la sincronizzazione temporale tra corpi in moto relativo tra loro (v. paragrafo Lavori sulla relatività).
Nel 1899, e di nuovo nel 1904 con maggiore successo, intervenne nell'affare Alfred Dreyfus, un ufficiale ebreo dell'esercito francese accusato di tradimento da commilitoni antisemiti. Poincaré attaccò le pseudo argomentazioni scientifiche mosse contro Dreyfus.
Nel 1912 si sottopose a un intervento chirurgico per un problema alla prostata e morì successivamente per embolia il 17 luglio 1912, a Parigi; aveva 58 anni. È sepolto presso la cappella della famiglia Poincaré nel Cimitero di Montparnasse, Parigi. Nel 2004 il Ministro francese per l'Educazione, Claude Allègre, ha proposto che Poincaré sia sepolto nel Panthéon di Parigi, che è riservato solo ai francesi più importanti.
Studenti Poincaré ebbe due importanti studenti di dottorato all'Università di Parigi, Louis Bachelier (1900) e Dimitrie Pompeiu (1905).
Lavoro Sommario Poincaré diede molti importanti contributi in svariati campi della matematica pura e applicata come: meccanica celeste, meccanica dei fluidi, ottica, elettricità, telegrafia, elasticità, termodinamica, teoria del potenziale, l'allora nascente teoria della relatività e cosmologia.
Fu anche un divulgatore di matematica e fisica e scrisse parecchi libri per il pubblico più ampio.
Tra le materie a cui contribuì maggiormente si segnalano: topologia algebrica; teoria delle funzioni analitiche a variabili complesse; teoria delle funzioni abeliane; geometria algebrica; formulazione di uno dei più famosi problemi in matematica, noto come la congettura di Poincaré, nell'ambito della topologia; teorema di ricorrenza; geometria iperbolica; teoria dei numeri; problema degli n-corpi; la teoria delle equazioni diofantee; elettromagnetismo teoria della relatività ristretta concetto di gruppo fondamentale, introdotto in un quaderno del 1894; molti risultati che sono cruciali per la teoria qualitativa delle equazioni differenziali, per esempio le nozioni di sfera di Poincaré e di mappa di Poincaré; un argomento matematico a favore della meccanica quantistica pubblicato in un quaderno.
Il problema dei tre corpi Il problema della soluzione generale al moto di più di due corpi orbitanti nel sistema solare aveva eluso i matematici sin dal tempo di Newton. Inizialmente era noto come il problema dei tre corpi e poi più tardi come il problema degli n-corpi, dove "n" sta a indicare un numero maggiore di due oggetti orbitanti. Il problema degli n-corpi alla fine del XIX secolo veniva considerato una delle maggiori sfide scientifiche. Anzi, nel 1887, in onore del sessantesimo compleanno, Oscar II, Re di Svezia, consigliato da Gösta Mittag-Leffler, istituì un premio per chi avesse trovato la soluzione al problema. L'annuncio era piuttosto specifico:
Nel caso il problema non fosse stato risolto, ogni altro contributo importante alla meccanica celeste sarebbe stato considerato degno di vincere il premio. Il premio fu assegnato a Poincaré, sebbene egli non avesse risolto il problema. Uno dei giudici, il noto Karl Weierstrass, disse, "Questo lavoro non si può proprio considerare la soluzione completa del problema proposto, tuttavia è di una tale importanza che la sua pubblicazione inaugurerà una nuova era nella storia della meccanica celeste." (La prima versione del suo contributo conteneva persino un errore grave; per maggiori dettagli si veda l'articolo di Diacu). La versione pubblicata conteneva notevoli idee che portarono in seguito allo sviluppo della teoria del caos. Il problema originale fu poi risolto da Karl Frithiof Sundman per n = 3 nel 1912 e fu generalizzato al caso di n > 3 da Qiudong Wang negli anni 1990.
Lavori sulla relatività
Tempo proprio Il lavoro di Poincaré presso il Bureau des Longitudes su come stabilire i fusi orari internazionali lo portò a considerare come potessero essere sincronizzati gli orologi nelle varie parti del mondo, in moto a diverse velocità relative rispetto allo spazio assoluto (o all'"etere luminifero"). Nello stesso tempo il fisico teorico olandese Hendrik Lorentz stava sviluppando la teoria di Maxwell per tenere conto del moto delle particelle cariche ("elettroni" o "ioni") e della loro interazione con la radiazione. Lorentz nel 1895 aveva introdotto una quantità ausiliaria (senza darne un'interpretazione fisica) chiamata "tempo proprio" , dove e aveva introdotto l'ipotesi della contrazione della lunghezza allo scopo di spiegare il fallimento degli esperimenti di ottica e di elettricità volti a individuare il moto relativo all'etere (vedi esperimento di Michelson-Morley). Poincaré fu un costante interprete (e a volte amichevolmente critico) della teoria di Lorentz; infatti sul piano gnoseologico era interessato al "significato più profondo" e così facendo pervenne a molti risultati che sono ora associati alla teoria della relatività speciale. In The Measure of Time (1898), trattò la difficoltà di stabilire la simultaneità a distanza e concluse che si potesse stabilire per convenzione. Egli asserì anche che gli scienziati dovevano porre la costanza della velocità della luce come postulato per dare alla teoria fisica la forma più semplice. Reprinted as The Measure of Time in "The Value of Science", Ch. 2. Sulla base di queste assunzioni nel 1900 si occupò della "meravigliosa invenzione" di Lorentz del tempo proprio e precisò che essa era necessaria quando orologi in moto sono sincronizzati scambiandosi segnali di luce che viaggiano alla stessa velocità in entrambe le direzioni in un sistema di riferimento in moto.. Reprinted in Poincaré, Oeuvres, tome IX, pp. 464–488. See also the
Principio di relatività ristretta e trasformazioni di Lorentz