In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare e a Sof'ja Kovalevskaja (1875) in generale.
Primo ordine Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:
in cui sono analitiche in un intorno del punto con condizioni iniziali:
per il tempo iniziale , e le sono analitiche in un intorno del punto tale che .
Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.
Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano .
Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della EDP.
Ordine superiore Se e sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:
con condizione iniziale:
possiede una soluzione unica in un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.
Per esempio, l'equazione del calore:
con la condizione:
per , posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto , che tuttavia non converge per tutti i valori di diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.
Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione coomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.
Ad esempio, dato , sia . Il sistema possiede una soluzione se e solo se le condizioni sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condizione iniziale , dove .
Bibliografia L. Bers, F. John, M. Schechter, Partial differential equations, Interscience (1964) A.V. Bitsadze, Equations of mathematical physics, MIR (1980) (Translated from Russian) V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, MIR (1984) (Translated from Russian) R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Partial differential equations, 2, Interscience (1965) (Translated from German) L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer (1963)
Voci correlate Equazione differenziale alle derivate parziali Funzione analitica Problema di Cauchy Teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara
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Categoria:Equazioni alle derivate parziali Cauchy-Kovalevskaya