In matematica, lequazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.
L'equazione ha la forma:
ovvero:
con , , e variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare , e come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in , e .
Soluzioni
Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.
Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:
L'espressione esplicita di una prima soluzione si può determinare esprimendola come serie di potenze:
spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite . Sostituendo e trovando una prima soluzione per i si ottiene una prima soluzione del tipo:
con e ; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come .
In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione , linearmente indipendente da solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:
con e .
Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:
Relazioni tra soluzioni di equazioni ipergeometriche Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:
che risulta valida anche per numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:
Derivata n-esima Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:
Integrali ipergeometrici Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):
si ottiene il risultato:
dove denota la funzione gamma.
Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):
Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel limite:
Bibliografia Cesare Rossetti (1975): Metodi matematici per la fisica, Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, Torino, Capitolo 9. Edouard Goursat (1936) , Hermann, Parigi. Joseph Kampé de Fériet (1937) La fonction hypergéométrique Mémorial des sciences mathématiques, n° 85, Gauthier-Villars, Parigi. Erdély, Magnus, Oberhettinger, Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter II. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Chapter 15. Earl D. Rainville (1945): The contiguous function relations for with application to Batemean's and Rice's Bulletin of the American Mathematical Society 51, p. 714. G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy (1999): Special functions, Cambridge University Press, Chapter 2.
Voci correlate Equazione di Papperitz-Riemann Equazione ipergeometrica confluente Serie ipergeometrica
Collegamenti esterni
Categoria:Funzioni speciali Ipergeometrica