In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.
Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.
L'equazione L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:
dove , e sono variabili complesse (o variabili formali); in genere e sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di loro soluzioni).
La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:
dove:
è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.
La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:
Esiste una notazione alternativa per (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).
Casi particolari Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:
Alcune funzioni elementari, come ad esempio:
e anche:
che è un polinomio per intero non positivo, oppure:
mentre è un polinomio di Bessel per intero e è il polinomio generalizzato di Laguerre per intero non-positivo. La funzione di Bateman Le funzioni di Bessel ed altre funzioni correlate, come le funzioni di Airy, le funzioni di Kelvin e le funzioni di Hankel. La funzione degli errori può essere scritta come:
La funzione integrale esponenziale, il seno integrale e il logaritmo integrale. I polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre La funzione gamma incompleta La funzione parabolica del cilindro Le funzioni di Whittaker e sono soluzioni dell'omonima equazione, che può essere scritta attraverso le funzioni di Kummer e come:
Rappresentazioni integrali Se , allora può essere rappresentato con forma di integrale:
dove è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per con parte positiva reale, può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:
L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano .
Polinomi di Laguerre La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come sviluppo in polinomi di Laguerre, ad esempio:
Teorema di moltiplicazione Valgono i seguenti teoremi di moltiplicazione:
Bibliografia Arthur Erdélyi, Whilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter VI. A. D. MacDonald Properties of the Confluent Hypergeometric Function (RLE Technical Report, MIT, 1948) Francesco Tricomi (1960) Fonctions hypergéométriques confluentes Mémorial des sciences mathématiques, n° 140, Gauthiers-Villars, Parigi. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Capitolo 13. Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985. Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-555, 1953. Slater, L. J. Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960. Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.
Voci correlate Equazione di Papperitz-Riemann Funzioni di Bessel Funzioni di Whittaker Funzione gamma incompleta Polinomi di Hermite Polinomi di Laguerre Serie ipergeometrica
Collegamenti esterni
Kummer hypergeometric function su Wolfram Functions site Tricomi hypergeometric function su Wolfram Functions site
Categoria:Funzioni speciali Ipergeometrica confluente