In geometria differenziale, la curvatura media di una superficie è una misura della curvatura della superficie in un punto.
A differenza della curvatura gaussiana, la curvatura media è una quantità estrinseca, cioè dipendente dal modo in cui la superficie è posta nello spazio.
Le superfici a curvatura media nulla sono dette superfici minime, e compaiono in natura ad esempio immergendo nell'acqua saponata un telaietto metallico di forma arbitraria.
Definizione Sia una superficie regolare nello spazio euclideo , e sia dato un punto .
La curvatura media di in è pari alla media aritmetica delle curvature principali e :
Raggi di curvatura principale
Indicando con e i corrispondenti raggi di curvatura, allora possiamo scrivere che:
ossia, che l'inverso della curvatura media è pari alla media armonica dei raggi di curvatura principale, ovvero al doppio della loro somma parallela.
Vale inoltre la seguente relazione tra la curvatura media e quella gaussiana :
Media delle curvature normali La curvatura media corrisponde anche alla media integrale delle curvature normali in :
dove .
Hessiano La curvatura media può essere definita più concretamente nel modo seguente. Con una rotazione, la superficie può essere trasformata in modo che il piano tangente in sia orizzontale. Vicino a , la superficie è il grafico di una funzione
definita su un insieme aperto di . Quindi ha coordinate . Poiché il piano tangente è orizzontale, questa funzione ha gradiente nullo. La curvatura media in è quindi definita come la traccia dell'hessiano di in . Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica data dalle derivate parziali seconde di .
Segno In entrambe le definizioni, il segno della curvatura media dipende dalla scelta di una normale alla superficie nel punto.
Esempi Curvatura costante Il piano e la sfera di raggio hanno curvature principali costanti per ogni punto, con nel piano e nella sfera. Queste superfici hanno quindi curvatura media costante .
Piano e cilindro Il piano ed il cilindro hanno entrambe curvatura gaussiana nulla, ma hanno curvature medie differenti. Il piano ha curvatura media nulla, mentre il cilindro di raggio ha curvature direzionali e e la sua curvatura media è quindi .
Arrotolando un foglio di carta, si modifica la sua forma nello spazio (quindi cambiano le curvature estrinseche come la curvatura media) ma resta invariata la curvatura gaussiana (che dipende dalla metrica intrinseca, cioè soltanto dalla prima forma fondamentale, cioè dal tensore metrico sulla superficie).
Esempio puntuale thumb|Il paraboloide iperbolico ha curvatura media nulla nell'origine. La funzione
ha gradiente . Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura media del grafico di in è la traccia dell'hessiano. L'hessiano è
e la sua traccia è . La curvatura media di in è quindi . Questa è ad esempio nulla in presenza di un punto di sella, ove .
Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in , dove il gradiente si annulla.
Bibliografia
Voci correlate Curvatura principale Curvatura gaussiana Superficie minima
Categoria:Superfici Categoria:Geometria differenziale