In meccanica quantistica, le autofunzioni del momento angolare sono le autofunzioni che rappresentano gli autostati dell'operatore momento angolare nella base della posizione.
Autofunzioni di Lz Considerata la componente del momento angolare:
risolvendo l'equazione agli autovalori:
Riscriviamo l'operatore in coordinate sferiche:
Allora le derivate parziali diventano:
L'operatore diventa:
L'equazione agli autovalori per diventa ( dipende solo da ):
questa è un'equazione differenziale al primo ordine, con soluzione generale:
Non resta che trovare il valore della costante, che deve essere tale che:
da cui:
Per cui l'autofunzione di è in definitiva:
Le espressioni di ed sono:
ovviamente non vi è nessun motivo particolare per scegliere la componente , ma visto che una rotazione degli assi nello spazio non modifica lo stato quantistico, possiamo sempre immaginare di porci con l'asse in modo tale che il momento angolare abbia proiezione su .
Autofunzioni di L2 Riscriviamo il momento angolare (quadrato) in coordinate polari sferiche:
e gli operatori di scala sempre in coordinate polari sferiche:
Sappiamo che l'autofunzione è simultanea di e . Abbiamo trovato la soluzione di . Esprimiamo l'autofunzione completa con:
dove si è sostituita la soluzione per . Ci resta da determinare , che dipende solo dall'angolo . Per fare ciò cerchiamo la soluzione dell'equazione agli autovalori, ricordando che gli autovalori del momento angolare orbitale sono :
Esplicitiamo la soluzione per trovata sopra:
quindi eseguendo la derivata seconda sull'esponenziale al primo membro e semplificando :
Facciamo un cambio di variabile esprimendo tutto in termini di :
quindi:
Per questa equazione è quella di Liouville:
con soluzione:
La soluzione è:
dove C è una costante di normalizzazione.
Armoniche sferiche
Abbiamo quindi trovato che l'autofunzione del momento angolare e della sua componente (è simultanea perché ) può essere espressa:
dove:
e
dove inglobiamo le costanti di normalizzazione nel fattore C. Quindi la soluzione completa è data:
queste soluzioni sono ben note alla fisica matematica e si chiamano armoniche sferiche, che dipendono ovviamente dai valori di ed . Le armoniche sferiche hanno importanti proprietà di parità, tra le quali:
che ha un diretto significato fisico, essa rappresenta l'inversione spaziale delle coordinate polari sferiche.
Bibliografia
Voci correlate
Numero quantico Numero quantico orbitale Operatore momento angolare Spin
Categoria:Meccanica quantistica