In matematica, una funzione di variabile reale si dice definita positiva attorno ad un punto quando in corrispondenza di essa si annulli, ed intorno a essa assuma valori strettamente positivi.
L'analisi delle funzioni definite positive (e delle matrici definite positive, concetto strettamente correlato attraverso la teoria delle coniche e delle quadriche) è di estremo interesse per molte branche della matematica.
Definizione formale
Una funzione continua si dice definita positiva in un intorno sferico di raggio di un punto se e solo se:
per ogni
Mediante il concetto di funzione di classe k è possibile generalizzare questa definizione a funzioni qualunque. Una funzione (non necessariamente continua) si dice infatti definita positiva in se:
Esiste una funzione di classe k tale che: per ogni
Analisi complessa Una funzione definita positiva di una variabile reale è una funzione complessa
tale che per ogni n-upla di numeri reali
x1, ..., xn
la matrice A ∈ Mn×n(C) di valori
aij = f(xi − xj)
è una matrice semi-definita positiva. È frequente limitarsi al caso in cui f(−x) sia il complesso coniugato di f(x), rendendo la matrice A Hermitiana.
Se una funzione f è semidefinita positiva, troviamo ponendo n = 1 che:
f(0) ≥ 0.
Ponendo n=2 e ricordando che una matrice definita positiva ha un determinante positivo otteniamo:
f(x − y)f(y − x) ≤ f(0)2
il che implica
|f(x)| ≤ f(0).
Il concetto di funzione definita positiva sorge naturalmente nella teoria della trasformata di Fourier; è facile dimostrare direttamente che essere definita positiva è una condizione necessaria perché f sia la trasformata di Fourier di una funzione g sull'asse reale con g(y) ≥ 0.
Il risultato inverso è il teorema di Bochner, che afferma che una funzione continua definita positiva sull'asse reale è la trasformata di Fourier di una misura (positiva)
Note
Collegamenti esterni
Categoria:Funzioni reali di variabile reale Categoria:Teoria dei sistemi dinamici