In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.
Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto cevianole cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di Cevadesignando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.
Lunghezza
Teorema di Stewart La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana è data dalla formula:
Mediana La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:
oppure
da cui
In questo caso
Bisettrice La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:
eJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
e
dove è il semiperimetro.
Il lato di lunghezza è diviso secondo la proporzione .
Altezza La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:
e
dove è il semiperimetro.
Ceviane concorrenti Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.
È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:
dove lx indica il lato e ωx la coordinata trilineare relativa del punto.
Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti ri tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:
Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:
i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141
Note
Collegamenti esterni
Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, Cambridge University Press, 1995 ISBN 978-0-88385-639-0, p. 13 et 137. Vladimir Karapetoff, Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle, American Mathematical Monthly, 36 (1929), 476–9 jstor.
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