In matematica, una varietà piatta è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente nulla. Gli esempi più importanti di varietà piatte in dimensione sono lo spazio euclideo ed il toro
Una varietà in cui la curvatura sezionale è invece costantemente 1 o -1 è detta rispettivamente ellittica o iperbolica.
Definizione Una varietà piatta è una varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque nulla, indipendentemente dal punto e dal piano su cui questa è valutata.
Varietà piatte complete Ogni varietà piatta completa ha come rivestimento universale lo spazio euclideo , ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo di isometrie.
Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo è un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di (quest'ultimo ha una topologia naturale).
Esempi Tori
L'esempio più importante di varietà piatta compatta è il toro -dimensionale
Per si ottiene l'usuale toro bidimensionale. Il toro si ottiene come quoziente dello spazio euclideo tramite il gruppo formato da tutte le traslazioni intere:
Più concretamente, la metrica sul toro è semplicemente quella indotta dall'immersione del toro dentro , ottenuta come prodotto dell'immersione della circonferenza dentro .
Bottiglia di Klein La bottiglia di Klein è rivestita dal toro bidimensionale con un rivestimento di grado due. Tale rivestimento è una isometria, e quindi induce una metrica piatta anche sulla bottiglia di Klein.
Proprietà Geometria locale euclidea Ogni punto di una varietà piatta ha un intorno isometrico ad un aperto dello spazio euclideo. Localmente, su una varietà piatta vale quindi la geometria euclidea: tale geometria può però non valere globalmente.
Teorema di Bieberbach Per il teorema di Bieberbach, ogni varietà piatta compatta è rivestita dal toro.
Caratteristica di Eulero Una varietà piatta compatta ha caratteristica di Eulero nulla. Questo fatto può essere visto come conseguenza del teorema di Bieberbach, visto che il toro ha caratteristica di Eulero nulla e i rivestimenti preservano questa proprietà.
Voci correlate Varietà ellittica Varietà iperbolica Varietà conformemente piatta
Collegamenti esterni
Categoria:Geometria riemanniana Categoria:Varietà geometriche