Il termine vibrazione si riferisce in particolare a un'oscillazione meccanica attorno ad un punto d'equilibrio. L'oscillazione può essere periodica come il moto di un pendolo oppure casuale come il movimento di una gomma su una strada asfaltata; l'unità di misura della frequenza per le oscillazioni periodiche è l'hertz che corrisponde a quante volte, in un secondo, si ripresenta la stessa configurazione.
Le vibrazioni rappresentano un fenomeno desiderato in molti casi. Ad esempio nel funzionamento del diapason, e di molti strumenti musicali, o nei coni degli altoparlanti, necessari per il corretto funzionamento dei vari oggetti che li utilizzano. Più spesso, però, le vibrazioni non sono desiderate; possono disperdere energia e creare suoni e rumori indesiderati. Ad esempio, nel funzionamento delle automobili e dei motori in generale.
Gli studi sul suono e sulle varie vibrazioni sono strettamente collegati. I suoni, onde di pressione, sono generati da strutture vibranti (ad esempio le corde vocali) e le onde di pressione possono generare vibrazione di strutture. Quindi, quando si prova a ridurre un rumore, il problema è ridurre la vibrazione che lo provoca.
Tipi di vibrazioni Vibrazioni libere: si verificano quando un sistema meccanico vibra e non è sottoposto ad alcuna forzante. Idealmente, se il sistema non fosse dotato di alcun tipo di attrito, smorzamento o comunque dispersione energetica, esso stesso continuerebbe a vibrare infinitamente nel tempo. Un sistema non sottoposto a forzante vibra poiché le sue condizioni iniziali erano (all'istante iniziale) non nulle. Un semplice esempio è il caso di una massa collegata ad un telaio per mezzo di una molla, molla che, all'istante iniziale, era ad esempio compressa.
Vibrazioni forzate: si hanno quando una forzante è applicata al sistema. Un esempio semplice è caratterizzato dalla lavatrice, il cui cestello, dotato di un ammortizzatore (per tale motivo definibile sistema vibrante), è continuamente sottoposto a forze rotanti, ossia alle forze d'inerzia generate dalla disposizione asimmetrica dei panni all'interno dello stesso.
Analisi delle vibrazioni I fondamenti dell'analisi delle vibrazioni possono essere compresi studiando il modello semplice massa-molla-smorzatore interazione tra loro del tipo massa-molla-smorzatore (tale assunzione è comunque un'approssimazione in quanto nella realtà non esiste alcun comportamento perfettamente lineare ed è questo il caso ad esempio di presenza di giochi, di parametri fisici non costanti nel tempo, ecc.).
Questo modello è un esempio di oscillatore armonico semplice e quindi la matematica usata per descrivere il relativo comportamento è identica ad altri oscillatori armonici semplici come il circuito RLC. Nota: In questo articolo le graduali derivazioni matematiche non saranno incluse, ma verranno messi in luce le equazioni e i concetti principali nell'analisi delle vibrazioni. Per le derivazioni dettagliate occorre utilizzare i riferimenti all'estremità dell'articolo.
Vibrazioni libere non smorzate
Per iniziare l'analisi del sistema massa-molla-ammortizzatore si assuma che eventuali dispersioni siano trascurabili e che non ci siano forze esterne applicate alla massa (vibrazioni libere).
La forza applicata alla massa dalla molla è proporzionale all'allungamento "x"(si assume che la molla sia già compressa dal peso della massa). La costante di proporzionalità, k, rappresenta la rigidezza della molla ed ha unità di misura del tipo forza/distanza (ad esempio lbf/in or N/m)
La forza generata dalla massa è proporzionale all'accelerazione della massa come dato dalla seconda legge della dinamica di Newton.
La somma delle forze sulla massa allora genera questa equazione differenziale ordinaria:
Se si suppone di far iniziare a vibrare il sistema tirando la molla a una distanza “A” e si lascia andare, la soluzione alla suddetta equazione che descrive il movimento della massa è:
Questa soluzione dice che il sistema oscillerà con un movimento armonico semplice che ha ampiezza “A” e una frequenza di , ma che cosa è ? è una delle quantità più importanti nell'analisi delle vibrazioni ed è denominata frequenza naturale (o frequenza propria)
è definita per il sistema semplice massa-molla come:
Nota: La frequenza angolare () con unità di radianti/secondo è spesso usata nelle equazioni perché le semplifica, anche se normalmente viene convertita nelle unità “standard” per la frequenza (Hz o in modo equivalente cicli/secondo).
Conoscendo la massa e la rigidezza del sistema si può quindi determinare la frequenza a cui il sistema vibrerà dopo una perturbazione iniziale utilizzando la suddetta formula. Ogni sistema in vibrazione ha una o più frequenze naturali che si manifestano quando viene disturbato. Questa semplice relazione può essere usata per capire cosa accadrà a sistemi più complessi variando massa o rigidezza. Per esempio, la suddetta formula spiega perché quando un'automobile o un camion è completamente carico la sospensione sarà “più molle” di come si presenta a mezzo scarico perché la massa è aumentata e quindi ha ridotto la frequenza naturale del sistema.
Che cosa induce il sistema a vibrare senza l'azione di forze?
Queste formule descrivono il movimento risultante, ma non spiegano perché il sistema oscilla. Il motivo dell'oscillazione è dovuto alla conservazione dell'energia. Nel suddetto esempio la molla si è estesa da un valore “A” e quindi ha immagazzinato energia potenziale (). Una volta che si lascia andare la molla, questa prova a ritornare al proprio stato di riposo e nel processo accelera la massa. Nel punto in cui la molla ha raggiunto il punto di equilibrio non vi è più energia potenziale, ma la massa ha raggiunto la relativa velocità massima e quindi tutta l'energia potenziale è stata trasformata in energia cinetica (). La massa allora comincia a rallentare perché ora sta comprimendo la molla e nel processo che trasferisce l'energia cinetica nuovamente dentro il potenziale. Ciò che trasferisce avanti e indietro dell'energia cinetica nell'energia totale e potenziale nella molla induce la massa ad oscillare.
Nel nostro modello semplice la massa continuerà ad oscillare per sempre alla stessa grandezza, ma in un sistema reale c'è sempre qualcosa che dissipa l'energia e quindi il sistema tende a ritornare al proprio stato iniziale di riposo.
Vibrazioni libere smorzate
Ora si aggiunga un ammortizzatore viscoso al modello che produce una forza che è proporzionale alla velocità della massa. L'ammortizzazione è denominata viscosa perché modella gli effetti di un oggetto in un liquido. La costante di proporzionalità c, è denominata coefficiente di smorzamento ed ha unità di forza/velocità (lbf s/in | N s/m).
Sommando le forze sulla massa si ottiene la seguente equazione differenziale ordinaria:
La soluzione di questa equazione dipende dall'ammortizzazione. Se questa è abbastanza piccola il sistema tranquillo vibrerà, ma smetterà di vibrare col tempo. Questo caso è denominato underdamping (questo caso è di particolare interesse nell'analisi delle vibrazioni). Se si aumenta l'ammortizzazione appena al punto in cui il sistema non oscilla più si raggiungerà il punto di smorzamento critico (se l'ammortizzazione viene aumentata oltre lo smorzamento critico il sistema è denominato overdamped). Il valore che il coefficiente c deve raggiungere per lo smorzamento critico nel modello totale dell'ammortizzatore della molla è:
Per caratterizzare la quantità di ammortizzazione in un sistema si utilizza un rapporto denominato il coefficiente di smorzamento (anche conosciuto come rapporto di smorzamento e % di smorzamento critico). Questo coefficiente di smorzamento è giusto un rapporto dell'ammortizzazione reale sopra la quantità di ammortizzazione richiesta per raggiungere lo smorzamento critico. La formula per il coefficiente di smorzamento () del modello totale dell'ammortizzatore della molla è:
Per esempio, le strutture del metallo (per esempio la fusoliera dell'aeroplano, l'albero a gomito del motore) avranno fattori di circa 0.05 mentre le sospensioni automobilistiche di 0.2-0.3.
La soluzione al di sotto dello smorzamento critico per il modello totale dell'ammortizzatore della molla è la seguente:
Il valore della “X” della grandezza iniziale e del , spostamento di fase, è determinato dall'allungamento della molla. Le formule per questi valori possono essere trovate nei riferimenti.
I punti principali sono il termine esponenziale e la funzione coseno. Il termine esponenziale definisce quanto il sistema “si ammortizza rapidamente” - più grande è il coefficiente di smorzamento, più rapidamente si smorza a zero. La funzione coseno è la parte oscillante della soluzione, ma la frequenza delle oscillazioni è differente se ci si trova sotto il punto di smorzamento critico.
La frequenza in questo caso è denominata la frequenza naturale smorzata, il , ed è collegata con la frequenza naturale dalla seguente equazione:
La frequenza naturale smorzata minore della frequenza naturale “undamped”, ma per molti casi pratici il coefficiente di smorzamento è relativamente piccolo e quindi la differenza è trascurabile.
I diagrammi a lato con coefficienti di smorzamento di 0.1 e 0.3 mostrano come la vibrazione si smorza progressivamente col tempo. Ciò che si effettua in pratica è misurare sperimentalmente la vibrazione libera dopo una perturbazione (per esempio di un martello) ed allora determinare la frequenza naturale del sistema misurando il tasso di oscillazione ed il coefficiente di smorzamento misurando il tasso di deperimento. La frequenza naturale ed il coefficiente di smorzamento non sono importanti solo nella vibrazione libera, ma caratterizzano anche come un sistema si comporterà sotto la vibrazione forzata.
Vibrazione forzata con smorzamento
In questa sezione si analizza il comportamento del modello “massa-molla-smorzatore” quando si aggiunge una forza armonica. Una forza di questo tipo, per esempio, potrebbe essere generata da uno squilibrio di rotazione.
Se si sommano ancora le forze sulla massa si ottiene la seguente equazione differenziale ordinaria:
la soluzione di questo problema può essere scritta come:
Il risultato mostra come la massa oscillerà alla stessa frequenza, f, della forza applicata, ma con uno sfasamento pari a .
L'ampiezza della vibrazione “X” è definita dalla seguente formula.
Dove “r” è definito come il rapporto della frequenza armonica della forza armonica sopra la frequenza naturale “undamped” del modello “massa-molla-ammortizzatore”.
A questo proposito è interessante notare come l'ampiezza della risposta dell'oscillatore sia scomponibile in due contributi: il primo è dato da
ed è detto spostamento statico: è lo spostamento che il sistema subirebbe se la forza fosse costante (condizioni statiche) uguale a . Il secondo contributo viene detto fattore di amplificazione dinamico e rappresenta l'incremento subito dallo spostamento statico per effetto della variazione della forza nel tempo. Lo sfasamento, , è definito dalla seguente formula.
Il diagramma di queste funzioni, consistente nella risposta di frequenza del sistema, presenta una delle caratteristiche più importanti nella vibrazione forzata. In un sistema leggermente smorzato quando la frequenza di forzatura avvicina la frequenza naturale () l'ampiezza della vibrazione può risultare estremamente alta. Questo fenomeno è denominato risonanza.