In teoria dei numeri, fissato un numero primo , la valutazione p-adica di un dato intero non nullo è il maggiore esponente per il quale divida . È comunemente denotato come .
In termini matematici scriviamo
Cui va aggiunta la convenzione .
Equivalentemente, corrisponde all'esponente relativo a nella fattorizzazione in numeri primi di .
Per un numero razionale non nullo , vale la seguente regola:
Nel caso in cui la frazione sia ridotta ai minimi termini, con e coprimi, questa si semplifica in una delle uguaglianze:
= se divide . = se divide . = 0 se è coprimo a entrambi.
L'applicazione principale della valutazione p-adica consiste nella costruzione del campo dei numeri p-adici.
Esempi corrisponde alla valutazione tre-adica di dodici, infatti e il numero uno è precisamente l'esponente associato al numero primo tre nella fattorizzazione di dodici.
essendo il sette un numero dispari, esso non è multiplo di due, ossia il due compare con esponente zero nella fattorizzazione del numero sette.
Per i numeri negativi vale banalmente .
Definizione e proprietà Numeri interi Se appartiene a , allora la valutazione p-adica per è definita come
Numeri razionali La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come
Alcune proprietà sono:
In aggiunta, se allora
dove è l'infimo (il minore tra i due).
Il valore assoluto p-adico Il valore assoluto p-adico su è definito come
Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà: Non-negatività Definizione positivaMoltiplicativitàSubadditivitàUltrametricitàSimmetria Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme con una metrica definita da
A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quanto non soddisfa il requisito di omogeneità.
Note
Voci correlate Identità di Legendre-de Polignac Lifting the exponent lemma
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria algebrica dei numeri