In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.
Enunciato Sia una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetutoSi noti che non si sta compiendo l'operazione , né l'operazione .
è dato dal singolo integrale
.
Dimostrazione La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:
dove
.
Ora, supposto questo vero per , non resta che provarlo per . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che . Allora, applicando l'ipotesi induttiva,
e questo completa la dimostrazione.
Applicazioni
Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare come (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.
Note
Bibliografia Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2 Collegamenti esterni
Categoria:Calcolo integrale