In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.
Definizione Formalmente, un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni elemento appartenente a tale che appartiene anch'esso in . In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti (dove e sono due numeri reali tali che ):.
(intervallo aperto) (intervallo chiuso) (intervallo chiuso a sinistra) (intervallo chiuso a destra) (intervallo aperto infinito a destra) (intervallo chiuso infinito a destra) (intervallo aperto infinito a sinistra) (intervallo chiuso infinito a sinistra) (tutta la retta reale) (un punto) l'insieme vuoto
I punti e sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa e rispettivamente al posto di e . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza .
Lintervallo unitario è l'intervallo chiuso .
Proprietà L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto. L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da in è ancora un intervallo. Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso. Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo . Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, , , o l'insieme vuoto.
Notazioni alternative Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.
Note
Bibliografia
Voci correlate Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato Numeri reali
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Categoria:Teoria degli insiemi Categoria:Topologia