In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Il teorema in due variabili Sia una funzione in due variabili, definita su un aperto del piano . Se ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se , allora queste coincidono in ogni punto , ovvero:

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Come conseguenza, se una funzione ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

Dimostrazione Sia . Si scelgono due reali , tali che . Ciò è possibile, poiché è un aperto di .

Si definiscono due funzioni e come segue:

in modo che:

Si prova facilmente che, fissati e nei rispettivi intervalli:

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

e analogamente:

con e , dove per comodità di scrittura si sono assunti .

Facendo tendere e a (e quindi anche e ), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha , cioè la tesi.

Esempio Sia:

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:

Quindi .

Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente. Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:

Si hanno derivate parziali prime continue:

Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:

Dunque .

Note

Bibliografia Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.

Voci correlate Differenziale esatto Equazione di Laplace Equazioni di Cauchy-Riemann

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