La matematica egizia (o matematica dell'Antico Egitto) è quel complesso di tecniche matematiche che furono sviluppate presso la civiltà dell'Antico Egitto intorno al 3000 - 300 a.C., in un periodo che si stende dall'Antico Regno d'Egitto fino approssimativamente all'inizio dell'Egitto ellenistico. Le prove della matematica egizia si limitano a una scarsa quantità di fonti sopravvissute scritte su papiro. Da questi testi si sa che gli antichi egizi comprendevano concetti di geometria, come la determinazione dell'area superficiale e del volume delle forme tridimensionali utili per l'ingegneria architettonica, e l'algebra, come il metodo della falsa posizione e le equazioni quadratiche.
Le prime testimonianze matematiche certo presso gli egizi risalgono al 3200 a.C, con il ritrovamento di etichette in avorio che testimoniano la nascita del sistema di numerazione che sarà poi in uso per tutta la storia egizia. Inoltre già nella prima dinastia erano diffuse la pratica della misurazione del livello di acqua del Nilo, e il rituale del "tendere la corda" per la costruzione dei templi, a conferma dell'uso di nozioni geometriche..
La matematica egizia classica emerse soltanto nel Medio Regno, con la creazione di vere e proprie scuole di scribi, e la nascita del sistema di frazioni caratteristico della matematica egizia. I problemi affrontati hanno sia carattere numerico e astratto, sia un aspetto pratico, legato al lavoro svolto dagli scribi.. Alla matematica veniva comunque riconosciuto il valore di speculazione astratta e di strumento per la conoscenza della natura, come recita l'intestazione del papiro matematico Rhind: «Metodo corretto di entrare nella natura, conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto».
Il Nuovo Regno non ha lasciato grandi testimonianze matematiche, ma dai documenti pervenuti è possibile dedurre che le tecniche matematiche non subirono variazioni.. Nel periodo greco, i documenti in demotico rivelano l'influsso della cultura greca; in direzione inversa, anche la matematica greca assorbì le conoscenze di quella egizia,. e Erodoto stesso sostenne che i Greci impararono la geometria dai "tenditori di corde" egizi.. Secondo la tradizione medievale, Abramo insegnò agli Egizi l'aritmetica e l'astronomia.
Panoramica Le prime testimonianze scritte dell'uso della matematica risalgono almeno al 3200 a.C. e sono costituite dalle targhette in avorio rinvenute nella tomba U-j ad Abido. Utilizzate probabilmente per catalogare i corredi funerari, alcune di queste targhette presentano dei numeri incisi. Ulteriori prove dell'impiego di un sistema numerico in base 10 si trovano su una testa di mazza cerimoniale, che registra un'offerta di 400.000 buoi, 1.422.000 capre e 120.000 prigionieri. I reperti archeologici suggeriscono che il sistema di calcolo egizio tragga le sue origini nell'Africa subsahariana; inoltre, i tipici motivi a geometria frattale diffusi nelle culture subsahariane si rintracciano anche nell'architettura e nei simboli cosmologici egizi. Un altro esempio notevole è il sito megalitico di Nabta Playa, nell'Alto Egitto, che presenta allineamenti astronomici basati sulla levata eliaca di Sirio, fondamentali per calibrare il calendario in base alle piene annuali del Nilo.
Per quanto riguarda l'Antico Regno (circa 2690–2180 a.C.), le prove dirette sono limitate, ma l'uso della matematica è deducibile da alcune iscrizioni murarie vicino a una mastaba a Meidum. Tali iscrizioni forniscono le linee guida per calcolare l'inclinazione dell'edificio: il diagramma presenta linee distanziate di un cubito, dimostrando l'impiego di questa specifica unità di misura.
I primi veri e propri documenti matematici risalgono alla XII dinastia (circa 1990–1800 a.C.). A questo periodo appartengono il Papiro Matematico di Mosca, il Rotolo Matematico Egizio in Cuoio, i Papiri di Lahun (parte della più ampia collezione di Kahun) e il Papiro di Berlino 6619. Il celebre Papiro Matematico di Rhind, risalente al Secondo Periodo Intermedio (circa 1650 a.C.), si ritiene sia la copia di un testo più antico redatto proprio durante la XII dinastia.
Il Papiro di Mosca e quello di Rhind sono veri e propri manuali didattici, costituiti da raccolte di problemi con le relative soluzioni. Si teorizza che siano stati redatti da insegnanti o studenti per esercitarsi nella risoluzione di casistiche tipiche.
Una particolarità affascinante della matematica egizia è l'uso delle frazioni unitarie. Pur impiegando notazioni speciali per frazioni comuni come , , (e raramente ), gli Egizi esprimevano tutte le altre frazioni come frazioni unitarie (nella forma ) o come somma di queste ultime. Per facilitare i calcoli, gli scribi si servivano di apposite tabelle. Il Rotolo Matematico in Cuoio, ad esempio, fornisce un elenco di frazioni unitarie espresse come somma di altre frazioni unitarie. Allo stesso modo, il Papiro di Rhind e altri testi contengono le cosiddette "tabelle ", strumenti essenziali che permettevano agli scribi di scomporre e calcolare qualsiasi frazione complessa.
Infine, durante il Nuovo Regno (circa 1550–1070 a.C.), i riferimenti matematici compaiono nel papiro letterario Anastasi I, mentre il Papiro di Wilbour (risalente all'epoca di Ramses III) riporta dettagliate misurazioni catastali. Nel villaggio degli operai di Deir el-Medina, inoltre, sono stati rinvenuti diversi ostraka (frammenti di ceramica o pietra) su cui è registrato il volume di terra rimosso durante lo scavo delle tombe.
I papiri matematici
A differenza che per le civiltà mesopotamiche, la quantità di testi di carattere matematico giunti a noi dall'Antico Egitto è estremamente ridotta, a causa della difficoltà di conservazione dei papiri stessi;. è quindi possibile che le effettive conoscenze dei matematici egizi siano a tutt'oggi sottovalutate.
Le principali fonti oggi conosciute includono i seguenti testi (generalmente datati al Medio Regno e al Secondo Periodo Intermedio):
Il Papiro matematico di Mosca. Il Rotolo di cuoio matematico egizio. I Papiri matematici di Lahun. Il Papiro di Berlino 6619 (scritto intorno al 1800 a.C.). La Tavoletta di legno di Akhmim. Il Papiro Reisner (datato agli inizi della XII dinastia egizia e rinvenuto a Nag el-Deir, l'antica città di Tinis). Il Papiro matematico di Rhind, risalente al Secondo Periodo Intermedio (1650 a.C. circa); tuttavia il suo autore, lo scriba Ahmes, lo descrive come la copia di un papiro del Medio Regno oggi perduto. Esso è il testo matematico più ampio a nostra disposizione.
Dal Nuovo Regno ci è giunta una manciata di testi matematici e di iscrizioni relative a calcoli:
Il Papiro Anastasi I (un testo letterario redatto sotto forma di lettera fittizia da uno scriba di nome Hori e indirizzata a un collega di nome Amenemope. Una parte della lettera descrive diversi problemi matematici). L'Ostracon Senmut 153 (scritto in ieratico). L'Ostracon Torino 57170, (scritto in ieratico). Alcuni ostraca provenienti da Deir el-Medina che contengono dei calcoli. L'ostracon IFAO 1206, ad esempio, mostra il calcolo di alcuni volumi, presumibilmente legato ai lavori di scavo per una tomba.
Ad oggi, i due testi più completi a disposizione degli studiosi sono: il papiro di Rhind, risalente al 1650 a.C. e in gran parte conservato presso il British Museum, che contiene tabelle di frazioni e 84 problemi di varia natura; il papiro di Mosca, in parte perduto e ora conservato presso il Museo Puškin delle belle arti di Mosca, che è databile al Medio Regno e contiene 25 problemi, tra cui quello più complesso fra quelli attualmente conosciuti, che descrive il calcolo di un tronco di piramide a base quadrata.
In entrambi i casi si tratta manuali di matematica scritti ad uso di studenti, come è desumibile sia dalla presenza delle tavole di frazioni, sia dall'enunciato dei problemi, che spesso vengono introdotti con frasi del tipo «Se ti viene chiesto ...», mentre la soluzione è preceduta da espressioni come «così devi rispondere». Manca in generale in questi testi la descrizione della teoria che è alla base del metodo di risoluzione..
La notazione
Gli antichi egizi utilizzavano un sistema decimale per la scrittura dei numeri, anche se nei nomi dei numeri sono rimaste tracce di uno stadio primitivo in cui veniva adottato un sistema a base cinque.. Il sistema, che è rimasto sostanzialmente stabile per tutta la durata della civiltà egizia, prevedeva l'utilizzo di sette geroglifici di base, ciascuno dei quali rappresenta una potenza di dieci, da (unità) a (milioni). Ciascun simbolo veniva ripetuto da una a nove volte; sommando il valore di tutti i segni, si otteneva il numero desiderato.
Ad esempio, usando i simboli
V1 = 100 Z1 = 1
si ottiene:
V1*V1*V1-Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1 = 3 × V1 + 6 × Z1 = 3 × 100 + 6 × 1 = 306.
Il sistema sopra descritto non è posizionale, anche se usualmente le cifre venivano scritte in ordine dal valore più grande a quello più piccolo. Inoltre non esiste alcun simbolo per indicare lo zero; per indicare il risultato zero di una sottrazione, si usava lo spazio o il simbolo geroglifico
nfr nfr, "svuotamento"..
La scrittura ieratica fa invece utilizzo di simboli diversi, spesso derivati dalla legatura dei simboli geroglifici; in particolare esistono simboli separati per i ciascun numero da 1 a 9, così come per le decine da 10 a 90, e così via. Questo facilitava e sveltiva notevolmente il lavoro degli scribi, a prezzo però dell'utilizzo di un numero molto maggiore di simboli, e di rendere molto più complessa la manipolazione degli stessi..
Le frazioni I numeri decimali venivano scritti esclusivamente tramite l'utilizzo di frazioni unitarie, ovvero reciproci di interi positivi; il simbolo di frazione era il geroglifico della bocca (un punto nella scrittura ieratica), con il significato di "parte", che veniva posto sopra al numero che andava a denominatore:
D21
Nella trascrizione moderna, queste frazioni sono usualmente indicate con una barra sopra al numero. Ad esempio:
r:Z1*Z1*Z1-r:Z1*Z1*Z1*Z1 = .
Come unica eccezione alla regola sopra, esistevano dei simboli appositi per indicare le frazioni , , , .. Questo sistema di scrittura alquanto complesso rimase immutato per gran parte della storia egizia; solamente nei papiri demotici si ritrova una qualche evoluzione nella scrittura, probabilmente dovuta all'influsso della cultura greca..
Le operazioni Gli egizi eseguivano le operazioni in maniera alquanto diversa da quella attuale; le tecniche di calcolo usate erano in parte legate al sistema di notazione. Inoltre non esistevano simboli particolari per indicare le operazioni: queste erano indicate tramite verbi o perifrasi..
Addizione e sottrazione L'addizione e la sottrazione con i simboli geroglifici erano particolarmente semplici; per sommare due numeri era sufficiente unire i segni dello stesso ordine di grandezza; qualora il numero totale dei segni dello stesso tipo fosse superiore a dieci, questi venivano sostituiti dal segno relativo all'ordine di grandezza superiore, in maniera analoga all'attuale riporto. La sottrazione procedeva in senso inverso: si sottraevano i simboli dello stesso tipo, e qualora questo non fosse sufficiente, si scalava un segno di ordine superiore.
Le somme con le frazioni venivano realizzati tramite la tecnica degli "ausiliari rossi",. così chiamata perché i numeri utilizzati venivano scritti in inchiostro rosso. Questa tecnica è analoga al moderno utilizzo del minimo comune multiplo. Ad esempio, nel problema 14 del papiro di Rhind, per sommare
lo scriba sceglieva il denominatore più grande come riferimento (56), e calcolava gli ausiliari rossi come rapporto fra questo e ciascun denominatore; ogni ausiliare rosso veniva scritto sotto al denominatore corrispondente: