Il Put-call parity è un'importante relazione tra il prezzo di un'opzione call e di un'opzione put. Questa relazione stabilisce che la differenza tra il prezzo di una opzione call ed il prezzo di una opzione put è uguale alla differenza tra il prezzo attuale del sottostante ed il valore attuale dello strike price delle opzioni.
La formula Put-Call Parity è la seguente:
Dove: ed indica il valore attuale al tempo , di un euro scadente al tempo , utilizzando la capitalizzazione istantanea; è il costo della opzione call al tempo t; è il costo della opzione put al tempo t; è il prezzo del titolo sottostante le opzioni al tempo t; è il prezzo di esercizio delle opzioni put e call a scadenza.
Dimostrazione Opzione di Tipo europeo e sottostante senza dividendi Consideriamo le seguenti ipotesi di partenza: Opzioni di tipo europeo; Azione senza dividendo.
Vengono poste in essere due strategie tramite due portafogli: Portafoglio A: Acquisto di una Call e vendita di una Put (alla stessa scadenza) Portafoglio B: Acquisto di un titolo azionario e prestito di un ammontare pari allo strike price (stessa scadenza delle opzioni).
Riprendendo la formula di Put-call parity , si può notare come la strategia del portafoglio A ha un costo determinato dal lato sinistro dell'equazione, mentre il portafoglio B ha un costo pari al lato destro dell'equazione. Le due strategie a scadenza producono il medesimo risultato, infatti: Se , cioè il prezzo dell'azione alla scadenza , è inferiore allo strike price allora l'opzione call non verrà esercitata e l'opzione put ci obbliga ad acquistare il titolo al prezzo con una perdita pari a , il portafoglio B porta come risultato anch'esso ; Se , cioè il prezzo dell'azione alla scadenza , è superiore allo strike price allora si eserciterà l'opzione call e si abbandona l'opzione put, l'esercizio dell'opzione call ci fa entrare in possesso del titolo al prezzo con un utile pari a , il portafoglio B porta come risultato sempre ;
Dato che i due portafogli conducono allo stesso risultato finale, allora (per evitare operazioni di arbitraggio) devono avere anche il medesimo costo in ogni tempo antecedente la scadenza , questo ci porta a dimostrare che la differenza del costo di acquisto di un'opzione call e di un'opzione put è uguale al valore attuale della differenza tra il sottostante e il prezzo di esercizio delle opzioni (strike price).
Opzione di Tipo Americano e sottostante senza dividendi Nelle opzioni di tipo americano bisogna tenere conto della possibilità data dal contratto di essere esercitato prima della scadenza, quindi può avere un valore superiore a quello indicato nella dimostrazione precedente
La formula Put-call parity è data da:
Opzione che ha un sottostante con dividendi Per le opzioni europee la formula diventa: Per le opzioni americane la formula diventa: dove è il valore attuale dei dividendi pagati dal sottostante. Nel caso in cui il sottostante paghi un tasso di dividendi continuo nel tempo, si può modificare il termine sovrastante come . In particolare, per opzioni europee con maturità valutate al tempo generico avremo la seguente uguaglianza: .
Bibliografia John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, Pubblicato da Pearson Paravia Bruno Mondad, 2006 ISBN 88-7192-288-3 Mario Onorato, Gli strumenti derivati, Pubblicato da ETASLIBRI, 1998 ISBN 88-453-0912-6 Weiyu Guo e Tie Su, Option Put-Call Parity Relations When the Underlying Security Pays Dividends,
Collegamenti esterni interessante tool su opzioni:Option Arbitrage Relations , Prof. Campbell R. Harvey Arbitrage Relationships for Options , Prof. Thayer Watkins Rational Rules and Boundary Conditions for Option Pricing (PDFDi), Prof. Don M. Chance
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