In algebra, il prodotto diretto di gruppi è un gruppo ottenuto partendo dal prodotto cartesiano di gruppi e munendolo di una specifica operazione. In alcuni casi è possibile realizzare il procedimento inverso: partire da un gruppo e decomporlo come prodotto diretto di suoi sottogruppi. Il vantaggio è evidente: i sottogruppi fattori, avendo ordine minore rispetto al gruppo di partenza, sono più semplici da studiare.

Prodotto diretto di due gruppi Prodotto diretto esterno Siano e due gruppi. Ricordando che

si definisce su tale insieme l'operazione nel seguente modo:

con e .

Grazie alle strutture di gruppo di e , si osserva che: <li>l'operazione è associativa; <li> è l'elemento neutro (con elemento neutro di ); <li>ogni elemento possiede l'inverso definito da La coppia è pertanto un gruppo chiamato prodotto diretto esterno tra e .

Prodotto diretto interno Sia un gruppo. Detti e due sottogruppi di è possibile, sotto determinate condizioni, decomporre come

In questo caso il gruppo viene detto prodotto diretto interno tra e .

Decomposizione tramite prodotto diretto interno Proposizione Siano un gruppo e due sottogruppi di tali che: <li> e sono sottogruppi normali di ; <li> , dove è l'elemento neutro di ; <li> . Allora vale la decomposizione

L'isomorfismo è la funzione

Esempio Detti il gruppo diedrale di ordine e il gruppo ciclico di ordine ,Si usa la notazione in accordo con la notazione moltiplicativa. risulta

Decomposizione di gruppi ciclici Nel caso particolare dei gruppi ciclici, è possibile imporre una condizione sull'ordine dei sottogruppi per avere la validità della proposizione precedente.

Proposizione (gruppi ciclici) Siano due numeri naturali e coprimi. Allora si ha

L'isomorfismo è la funzione data da

con generatori rispettivamente di .

Esempi I numeri 3 e 5 sono coprimi, dunque risulta

Il numero 2 non è coprimo con sé stesso, dunque non è vero che

Il gruppo è isomorfo al gruppo di Klein.

Generalizzazioni La teoria sopra presentata si può generalizzare al caso di gruppi. <li> Dato un prodotto diretto , si ha

Analogamente, nel caso di un prodotto formato da gruppi, si ha

<li>Se , con tutti gli coprimi, vale

L'isomorfismo è analogo al caso di due gruppi considerando i generatori di tutti gli gruppi ciclici. <li> Dato un prodotto diretto , è possibile metterlo in relazione con i gruppi fattori. Ad esempio la funzione

identifica con il sottogruppo . Invece, la funzione

detta proiezione, ricava il gruppo dal prodotto iniziale. La definizione delle funzioni e è analoga e la costruzione è estendibile al prodotto di gruppi.

Note

Bibliografia

Voci correlate Gruppo Prodotto semidiretto Prodotto intrecciato

Collegamenti esterni

Categoria:Teoria dei gruppi